《2026年龙江王中王中考总复习数学》

22. 如图,在平面直角坐标系中,直线$AB$与两坐标轴分别交于$A,B$两点,若点$A(0,a),B(b,0)$,满足$|2a - b - 9| + \sqrt{a + 2b - 12} = 0$.
(1)求$a,b$的值;
(2)若点$C$的坐标为$(-1,2)$,连接$AC,BC$.求$\triangle ABC$的面积;
(3)点$D$在直线$AB$上,且$AD = 2BD$.数学活动小组的同学发现:当点$D$在线段$AB$上时,可连接$OD,\triangle OBD$的面积是$\triangle OAB$面积的$\frac{1}{3}$,根据两者间的面积关系,即可求出点$D$的坐标.请你根据活动小组的思路,直接写出满足条件点$D$的坐标.

答案：
22. 解：
(1)$\because |2a-b-9|+\sqrt{a+2b-12}=0$，
$\therefore \begin{cases}2a-b-9=0,\\a+2b-12=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=6,\\b=3.\end{cases}$
(2)过$C$作$CD\perp x$轴于点$D$，由
(1)可得$A(0,6)$，
$B(3,0)$，
$\because C(-1,2)$，$\therefore OD=1$，$CD=2$，$OA=6$，$OB=3$。
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{梯形ACDO}+S_{\triangle AOB}-S_{\triangle BCD}$
$=\frac{1}{2}OD(CD+AO)+\frac{1}{2}AO· OB-\frac{1}{2}CD· DB$
$=\frac{1}{2}×1×(2+6)+\frac{1}{2}×6×3-\frac{1}{2}×2×(1+3)$
$=4+9-4$
$=9$。
(3)$D(2,2)$或$(6,-6)$。

23. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B$的坐标分别为$A(a,0),B(b,0)$,且$a,b$满足$|a + 2| + \sqrt{b - 4} = 0$,点$C$的坐标为$(0,3)$.

(1)求$a,b$的值及$\triangle ABC$的面积;
(2)若点$M$在$x$轴上,且$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$,试求点$M$的坐标.

答案： 23. 解：
(1)$\because |a+2|+\sqrt{b-4}=0$，
$\therefore a+2=0$，$b-4=0$。$\therefore a=-2$，$b=4$。
$\therefore$ 点$A(-2,0)$，点$B(4,0)$。$\therefore AB=6$。
又$\because$ 点$C(0,3)$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· CO=\frac{1}{2}×6×3=9$。
(2)设点$M$的坐标为$(x,0)$，
则$AM=|x-(-2)|=|x+2|$。
又$\because S_{\triangle ACM}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，$\therefore \frac{1}{2}AM· OC=\frac{1}{3}×9$。
$\therefore \frac{1}{2}|x+2|×3=3$。$\therefore |x+2|=2$。即$x+2=\pm2$。
解得$x=0$或$-4$，故点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。