《2026年龙江王中王中考总复习数学》

17. 某社区拟筹资金$2000$元，计划在一块上、下底分别是$10m,20m$的梯形空地上

种

植花木(如图)，他们想在$\triangle AMD$和$\triangle BMC$地带种植单价为$10$元$/m^2$的太阳花，当$\triangle AMD$地带种满花后，已经花了$500$元，请你预算一下，若继续在$\triangle BMC$地带种

植

同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.

答案： 17. 解：不够用，理由：$\triangle ADM$的面积为$500 ÷ 10 = 50(m^2)$
$\because AD // BC$，$\therefore \angle DAM = \angle BCA$。
又$\because \angle AMD = \angle CMB$，$\therefore \triangle ADM \sim \triangle CBM$。
$\therefore \frac{S_{\triangle ADM}}{S_{\triangle CBM}} = \left( \frac{AD}{CB} \right)^2 = \frac{1}{4}$。
$\therefore S_{\triangle CBM} = 4S_{\triangle ADM} = 4 × 50 = 200(m^2)$。
$\therefore \triangle BMC$地带所需资金为$200 × 10 = 2000$（元）。
$\because 2000 + 500 ＞ 2000$，$\therefore$ 资金不够用。

18. (2025 龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，菱形$OABC$的边$OA$在$x$轴上，$\tan\angle COA=\sqrt{3}$，$OA$的长是一元二次方程$x^2-3x-18=0$的根，过点$C$作$CQ\perp OA$于点$Q$，交对角线$OB$于点$P$.动点$M$从点$O$以每秒$1$个单位长度的速度沿$OA$向终点$A$运动，动点$N$从点$B$以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度沿$BO$向终点$O$运动，$M,N$两点同时出发，设运动时间为$t$秒.
(1)求点$P$的坐标；
(2)连接$MN,PM$，求$\triangle PMN$的面积$S$关于运动时间$t$的函数解析式；
(3)当$t=3$时，在对角线$OB$上是否存在一点$E$，使得$\triangle MNE$是含$30°$角的等腰三角形.若存在，请直接写出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
18. 解：
(1) 由$x^2 - 3x - 18 = 0$，解得$x_1 = 6$，$x_2 = -3$，
$\because OA ＞ 0$，$\therefore OA = 6$。$\because$ 四边形$OABC$为菱形，
$\therefore OA = OC = 6$，$\angle COB = \angle BOA$。
$\because \tan \angle COA = \sqrt{3}$，$\therefore \angle COA = 60°$。
$\because CQ \perp OA$，$\therefore \angle OQC = 90°$。
$\therefore \angle OCQ = 30°$。
$\therefore OQ = 6 × \frac{1}{2} = 3$。
$\because \angle POQ = \frac{1}{2} \angle COA = 30°$。
$\therefore$ 在$Rt \triangle POQ$中，$PQ = OQ · \tan 30° = \sqrt{3}$。
$\therefore P(3, \sqrt{3})$。
(2) 根据题意可知，$BN = \sqrt{3}t$，$OM = t$，
过$M$作$MK \perp OB$于点$K$，
$\therefore \angle OKM = 90°$。
$\therefore MK = \frac{1}{2}OM = \frac{1}{2}t$
$\because \angle POQ = 30°$，$PQ = \sqrt{3}$，$\angle PQO = 90°$，
$\therefore OP = 2\sqrt{3}$，
过$B$作$BH \perp x$轴于点$H$。$\therefore \angle BHA = 90°$。
$\because$ 四边形$OABC$为菱形，
$\therefore AB // OC$，$AB = OA = 6$。
$\therefore \angle BAH = \angle COA = 60°$。
在$Rt \triangle ABH$中，$BH = AB · \sin 60° = 3\sqrt{3}$。
$\therefore OB = 3\sqrt{3} × 2 = 6\sqrt{3}$。
$\therefore PB = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
当$0 ＜ t ＜ 4$时，$PN = 4\sqrt{3} - \sqrt{3}t$，
$\therefore S_{\triangle PMN} = \frac{1}{2} · \frac{1}{2}t(4\sqrt{3} - \sqrt{3}t) = -\frac{\sqrt{3}}{4}t^2 + \sqrt{3}t$；
当$4 ＜ t \leq 6$时，$PN = \sqrt{3}t - 4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\triangle PMN} = \frac{1}{2} · \frac{1}{2}t(\sqrt{3}t - 4\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \sqrt{3}t$。
综上所述，$S = \begin{cases} -\frac{\sqrt{3}}{4}t^2 + \sqrt{3}t (0 ＜ t ＜ 4) \\ \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \sqrt{3}t (4 ＜ t \leq 6) \end{cases}$
(3) 存在，$E_1(0, 0)$，$E_2(3, \sqrt{3})$，$E_3\left( \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} - 3 \right)$。