《2026年龙江王中王中考总复习数学》

22. (2023 龙东地区) 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + 3$与$x$轴交于$A( -3,0),B(1,0)$两点，交$y$轴于点$C$.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 抛物线上是否存在一点$P$，使得$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不
存在，请说明理由.

答案： 22. 解：
(1)将$ A(-3, 0) $，$ B(1, 0) $代入$ y = ax^2 + bx + 3 $，得
$ \begin{cases} 0 = 9a - 3b + 3, \\ 0 = a + b + 3, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = -1, \\ b = -2, \end{cases} $
∴抛物线的解析式为$ y = -x^2 - 2x + 3 $。
(2)存在，点$ P $的坐标为$ (-2, 3) $或$ (3, -12) $。

23. 2024 年“五一”假期期间，某特产店销售$A,B$两类特产. $A$类特产进价$50$元/件，$B$类特产进价$60$元/件. 已知购买$1$件$A$类特产和$1$件$B$类特产需$132$元；购买$3$件$A$类特产和$5$件$B$类特产需$540$元.
(1) 求$A$类特产和$B$类特产每件的售价各是多少元；
(2) $A$类特产供货充足，按原价销售每天可售出$60$件. 市场调查反映，若每降价$1$元，每天可多售出$10$件（每件售价不低于进价）. 设每件$A$类特产降价$a$元，每天的销售量为$y$件，求$y$与$a$的函数关系式，并写出自变量$a$的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，由$B$类特产供货紧张，每天只能购进$100$件且能按原价售完. 设该店每天销售这两类特产的总利润为$w$元，求$w$与$a$的函数关系式，并求出每件$A$类特产降价多少元时总利润$w$最大，最大利润是多少元？（利润=售价-进价）

答案： 23. 解：
(1)设每件$ A $类特产的售价为$ x $元，则每件$ B $类特产的售价为$ (132 - x) $元。
根据题意，得$ 3x + 5(132 - x) = 540 $。
解得$ x = 60 $。
∴$ 132 - x = 132 - 60 = 72 $。
答：$ A $类特产的售价为60元/件，$ B $类特产的售价为72元/件。
(2)由题意，得$ y = 10a + 60(0 \leq a \leq 10) $。
(3)$ w = (60 - 50 - a)(10a + 60) + 100 × (72 - 60) $
$ = -10a^2 + 40a + 1800 $
$ = -10(a - 2)^2 + 1840 $。
∵$ -10 ＜ 0 $，
∴当$ a = 2 $时，$ w $有最大值1840。
答：$ A $类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元。