《2026年龙江王中王中考总复习数学》

17. (2025 天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑$AB$的高度(如图①).
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点$A$，$E$，$C$依次在同一条水平直线上，$CD\perp AC$，$EF\perp AC$，且$CD=EF=1.7m$. 在$D$处测得世纪钟建筑顶部$B$的仰角为$22^{\circ}$，在$F$处测得世纪钟建筑顶部$B$的仰角为$31^{\circ}$，$CE=32m$. 根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑$AB$的高度(结果取整数).
参考数据：$\tan22^{\circ}\approx0.4$，$\tan31^{\circ}\approx0.6$.

答案： 17. 解：延长 $DF$ 与 $AB$ 相交于点 $G$。
根据题意，可得 $DG \perp CA$，$\therefore \angle BGD = \angle BAC = 90°$。
由题意，得 $\angle GDB = 22°$，$\angle GFB = 31°$，
$AG = EF = CD = 1.7$，$DF = CE = 32$。
在 $Rt\triangle FGB$ 中，$\tan \angle GFB = \frac{GB}{GF}$，$\therefore GF = \frac{GB}{\tan 31°}$。
在 $Rt\triangle DGB$ 中，$\tan \angle GDB = \frac{GB}{GD}$，
$\therefore GD = \frac{GB}{\tan 22°}$。
$\because GF + DF = GD$，$\therefore \frac{GB}{\tan 31°} + 32 = \frac{GB}{\tan 22°}$。
$\therefore GB = \frac{32 × \tan 22° \tan 31°}{\tan 31° - \tan 22°} \approx \frac{32 × 0.4 × 0.6}{0.6 - 0.4} = 38.4$。
$\therefore AB = AG + GB \approx 1.7 + 38.4 \approx 40$。
答：世纪钟建筑 $AB$ 的高度约为 $40\,m$。

18. (2025 重庆)为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.
如图，$A$，$B$，$C$，$D$在同一平面内. $A$是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于$A$的正东方向10千米的$B$处，乙无人机位于$A$的南偏西$30^{\circ}$方向20千米的$D$处. 两无人机同时飞往$C$处巡视，$D$位于$C$的正西方向上，$B$位于$C$的北偏西$30^{\circ}$方向上.
(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{5}\approx2.24$，$\sqrt{7}\approx2.65$)
(1)求$BD$的长(结果保留小数点后一位)；
(2)甲、乙两无人机同时分别从$B$，$D$出发沿$BC$，$DC$往$C$处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍. 当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号. 请问甲无人机飞离$B$处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)？

答案：
18. 解：
(1) 过点 $A$ 作 $AE \perp DC$ 于点 $E$，过点 $B$ 作 $BF \perp DC$ 于点 $F$，
则 $\angle AEF = \angle AED = \angle BFE = \angle BFC = 90°$。
$\therefore AE // BF$。由题意，得 $AB // CD$，
$\therefore$ 四边形 $AEFB$ 为平行四边形。
$\therefore EF = AB = 10$，$BF = AE$。
在 $Rt\triangle AED$ 中，$\because \angle DAE = 30°$，$AD = 20$，
$\therefore DE = AD · \sin 30° = 10$，$AE = AD · \cos 30° = 10\sqrt{3}$。
$\therefore BF = AE = 10\sqrt{3}$，$DF = DE + EF = 20$。
$\therefore$ 在 $Rt\triangle BFD$ 中，$BD = \sqrt{BF^2 + DF^2} = 10\sqrt{7} \approx 26.5$（千米）。
答：$BD$ 的长约为 $26.5$ 千米。
(2) 甲、乙无人机分别在 $G$，$H$ 处时，可以开始相互接收信号，连接 $GH$，当 $GH = 20$ 时，过点 $H$ 作 $HM \perp BC$ 于点 $M$，过 $B$ 作 $BF \perp CD$ 于点 $F$；

设 $BG = x$，则 $DH = 2x$。
在 $Rt\triangle BFC$ 中，
$\because \angle FBC = 30°$，$BF = 10\sqrt{3}$，
$\therefore CF = BF · \tan 30° = 10$，$BC = \frac{BF}{\cos 30°} = 20$。
$\therefore GC = 20 - x$，$CH = DF + CF - DH = 30 - 2x$。
在 $Rt\triangle HMC$ 中，
$\because \angle MCH = 60°$，$CH = 30 - 2x$，
$\therefore MH = CH · \sin 60° = \sqrt{3}(15 - x)$，$MC = CH · \cos 60° = 15 - x$。
$\therefore MG = GC - MC = 20 - x - 15 + x = 5$。
在 $Rt\triangle HMG$ 中，$MH^2 + MG^2 = HG^2$，
即 $[\sqrt{3}(15 - x)]^2 + 5^2 = 20^2$。
解得 $x_1 = 15 - 5\sqrt{5} \approx 3.8$，$x_2 = 15 + 5\sqrt{5}$（不合题意，舍去）。
答：甲无人机飞离 $B$ 处约 $3.8$ 千米时，两无人机可以开始相互接收信号。