《2026年龙江王中王中考总复习数学》

21. 综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片$ABCD$折叠，使边$AB$, $AD$都落在对角线$AC$上，展开得折痕$AE$, $AF$，连接$EF$，如图①.
(1) $\angle EAF =$45$°$，写出图①中两个等腰三角形：$\triangle AEF$，$\triangle CEF$，$\triangle ABC$，$\triangle ADC$(不需要添加字母)；
转一转：将图①中的$\angle EAF$绕点$A$旋转，使它的两边分别交边$BC$, $CD$于点$P$, $Q$，连接$PQ$，如图②.
(2) 线段$BP$, $PQ$, $DQ$之间的数量关系为$BP + DQ = PQ$；
(3) 连接正方形对角线$BD$，若图②中的$\angle PAQ$的边$AP$, $AQ$分别交对角线$BD$于点$M$, $N$，如图③，则$\frac{CQ}{BM} =$$\sqrt{2}$；
剪一剪：将图③中的正方形纸片沿对角线$BD$剪开，如图④.
(4) 求证：$BM^2 + DN^2 = MN^2$.
(4) 求证：$BM^2 + DN^2 = MN^2$.

答案：

(1) 45 $\triangle AEF$，$\triangle CEF$，$\triangle ABC$，$\triangle ADC$
(2) $BP + DQ = PQ$
(3) $\sqrt{2}$
(4) 证明：过 A 作 $AM' \perp AM$，且 $AM' = AM$，连接 $M'D$，$M'N$．

由题可得 $\angle B = \angle ADB = 45°$，$\angle BAD = 90°$，$AB = AD$，$\angle MAN = 45°$．
$\because \angle MAM' = 90°$，$\therefore \angle BAM = \angle M'AD$．
$\therefore \triangle ABM \cong \triangle ADM'$．
$\therefore \angle B = \angle ADM' = 45°$，$BM = DM'$，$\angle M'DN = 90°$．
$\because \angle M'AN = 90° - 45° = 45° = \angle MAN$，$AN = AN$，
$\therefore \triangle ANM \cong \triangle ANM'$，$\therefore MN = M'N$．
$\because$ 在 $Rt\triangle M'DN$ 中，$M'D^2 + DN^2 = M'N^2$，
$\therefore BM^2 + DN^2 = MN^2$．