《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

11. [2025湖北四地七校期中联考]某校艺术团共有150人,男生与女生的比例是$2:1$.为了解艺术团全体学生的身高,按性别比例进行分层随机抽样,抽取样本量为30的样本,并观测样本身高数据(单位:cm).已知男生样本的身高平均数为169,标准差为$\sqrt{39}$.下表是抽取的女生样本的数据:

记抽取的第$i$个女生的身高为$x_{i}(i = 1,2,3,·s,10)$,样本平均数$\overline{x}=160$,标准差$s=\sqrt{15}$.
(1)用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况,试估计艺术团女生总体身高在$[160,165]$范围内的人数;
(2)用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数$\mu$和方差$\sigma^{2}$,求$\mu$,$\sigma^{2}$的值;
(3)若女生样本数据在$(\overline{x}-2s,\overline{x}+2s)$之外的数据称为偏离值,剔除偏离值后,计算剩余女生样本身高的平均数与方差.(参考数据:$\sqrt{15}\approx3.9$,$159^{2}=25281$,$169^{2}=28561$)

答案： 解：
(1)因为在女生样本中,身高在[160,165]的频率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5},$所以艺术团女生总体身高在[160,165]范围内的人数估计为$150×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}=20.$
(2)由题意知,男生样本的身高平均数为169,方差为39,女生样本的身高平均数为160,方差为15,则总样本的平均数为$\frac{20×169+10×160}{30}=166,$方差为$\frac{2}{3}×[39+(166−169)²]+\frac{1}{3}×[15+(160−166)²]=32+17=49,$所以μ=166,σ²=49.
(3)由题意知$,(\bar{x}−2s,\bar{x}+2s)=(160−2\sqrt{15},160+2\sqrt{15})≈(152.2,167.8),$由样本数据可知$169∉(160−2\sqrt{15},160+2\sqrt{15}),$所以169为偏离值,剔除169后,女生样本的身高平均数为$\bar{x}'=\frac{1}{9}×(160×10−169)=159,s'²=\frac{1}{9}(\sum_{i=1}^{10}x_i²−10\bar{x}²)−9\bar{x}'²=\frac{1}{9}(256150−28561−9×25281)=\frac{20}{3}.$