《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [2025辽宁大连期中]在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且$∠OCB=30^{\circ}$,$|\overrightarrow{AB}|=2$,则$|\overrightarrow{AC}|=$1.

答案： 7.1　由$\vert\overrightarrow{OC}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert$，得$\angle ABC = \angle OCB = 30^{\circ}$，又$\angle ACB = 90^{\circ}$，则$\vert\overrightarrow{AC}\vert=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert=\frac{1}{2}×2 = 1$.

8. [2024浙江绍兴期中]在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b,使$b=a$;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使$|c|=\sqrt{5}$,并说出向量c的终点的轨迹是什么?

答案：
8.解:
(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等.如图所示，
(2)由平面几何知识可知所有向量c的终点的轨迹是以A为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆.

9. 一架飞机先从点A向西北飞行200km到达点B,再从点B向东飞行$100\sqrt{2}$km到达点C,最后从点C向南偏东$60^{\circ}$飞行$50\sqrt{2}$km到达点D,求:
(1)飞机从点A到点D的航行路程;
(2)飞机从点D回到点A的位移.

答案：
9.解:
(1)如图，因为路程是数量，所以总的航行路程等于三次飞行的路程之和，即$\vert\overrightarrow{AB}\vert+\vert\overrightarrow{BC}\vert+\vert\overrightarrow{CD}\vert = 200 + 100\sqrt{2}+50\sqrt{2}=50(4 + 3\sqrt{2})(km)$.
(2)飞机从点D回到点A的位移是向量$\overrightarrow{DA}$，不仅有大小，还有方向.由$\vert\overrightarrow{AB}\vert = 200km$，$\vert\overrightarrow{BC}\vert = 100\sqrt{2}km$，$\angle ABC = 45^{\circ}$知C点在点A的正北方向$100\sqrt{2}km$处，即$\vert\overrightarrow{AC}\vert = 100\sqrt{2}km$.由$\vert\overrightarrow{CD}\vert = 50\sqrt{2}km$，$\angle ACD = 60^{\circ}$，知$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle DAC = 30^{\circ}$，$\vert\overrightarrow{DA}\vert=\sqrt{(100\sqrt{2})^{2}-(50\sqrt{2})^{2}} = 50\sqrt{6}(km)$.所以$\overrightarrow{DA}$的方向为南偏西$30^{\circ}$，长度为$50\sqrt{6}km$.