《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025 山西晋城一中期中]如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,BE 与对角线 AC 相交于点 F,记$\overrightarrow {AB}=a,\overrightarrow {AD}=b$,则$\overrightarrow {BF}=$(A)


A.$-\frac {1}{3}a+\frac {2}{3}b$
B.$-\frac {1}{3}a-\frac {2}{3}b$
C.$\frac {1}{3}a+\frac {2}{3}b$
D.$-\frac {2}{3}a+\frac {1}{3}b$

答案： 1. A 由题意知$CE// AB$且$CE = \frac{1}{2}AB$，根据$\triangle CEF \sim \triangle ABF$，可得$\frac{EF}{BF} = \frac{EC}{BA} = \frac{1}{2}$，所以$BF = \frac{2}{3}BE$，所以$\overrightarrow{BF} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE}) = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b}$。

2. [2023 山西阳泉期末]在菱形 ABCD 中,$AB = 2,A = 60^{\circ}$,若$\overrightarrow {AM}=\frac {1}{2}\overrightarrow {AC},\overrightarrow {DN}=\frac {1}{3}\overrightarrow {DB}$,则$|\overrightarrow {NA}+\overrightarrow {NB}+\overrightarrow {NC}+\overrightarrow {ND}|=$(B)

A.$\frac {2}{3}$
B.$\frac {4}{3}$
C.$\frac {5}{3}$
D.$\frac {7}{3}$

答案：
2. B 如图，因为在菱形$ABCD$中，$AB = 2$，$A = 60^{\circ}$，$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$，所以$\triangle ABD$为等边三角形，$M$为$BD$的中点，$N$为靠近点$D$的$BD$的三等分点，故$MN = \frac{1}{6}BD = \frac{1}{3}$，因为$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = (\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NC}) + (\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{ND}) = 2\overrightarrow{NM} + 2\overrightarrow{NM} = 4\overrightarrow{NM}$，所以$\vert\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND}\vert = 4\vert\overrightarrow{NM}\vert = \frac{4}{3}$。
　　　　　　

3. [2025 江苏南通期末]已知$e_{1},e_{2}$为平面内一组基底,$\overrightarrow {AB}=e_{1}+ae_{2},\overrightarrow {CB}=e_{1}-4e_{2},\overrightarrow {CD}=5e_{1}+4e_{2}$.若 A,B,D 三点共线,则实数 a 的值为(A)

A.2
B.-2
C.0
D.1

答案： 3. A 因为$\boldsymbol{e_1}$，$\boldsymbol{e_2}$为平面内一组基底，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{e_1} + a\boldsymbol{e_2}$，$\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{e_1} - 4\boldsymbol{e_2}$，$\overrightarrow{CD} = 5\boldsymbol{e_1} + 4\boldsymbol{e_2}$，所以$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = 4\boldsymbol{e_1} + 8\boldsymbol{e_2}$，又$A$，$B$，$D$三点共线，所以$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{BD}$，所以$\frac{1}{4} = \frac{a}{8}$，解得$a = 2$。

4. [2024 广东湛江期末]在平面上有 A,B,C 三点,设$m=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC},n=\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BC}$,若 m 与 n 的长度恰好相等,则有(C)

A.A,B,C 三点必在一条直线上
B.$\triangle ABC$必为等腰三角形且$∠B$为顶角
C.$\triangle ABC$必为直角三角形且$∠B$为直角
D.$\triangle ABC$必为等腰直角三角形

答案： 4. C 以$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$为邻边作平行四边形，则$\boldsymbol{m} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$，$\boldsymbol{n} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$。由$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形$ABCD$一定是矩形，所以$\triangle ABC$必为直角三角形且$\angle B$为直角。

5. [2024 山东枣庄中学期中]设单位向量 a,b,c,若$p = a + b + c$,则$|p|$的取值范围是(A)

A.$[0,3]$
B.$[0,2]$
C.$[0,1]$
D.$[1,2]$

答案：
5. A 因为$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$为单位向量，所以$\vert\boldsymbol{p}\vert = \vert\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}\vert \leq 3$，当且仅当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$方向都相同时，等号成立。作$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$，当$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = \frac{2\pi}{3}$时，如图所示。
　　　　　　　
以$OA$，$OB$为邻边作平行四边形$OAEB$，则该四边形为菱形，且$\angle AOE = \frac{\pi}{3}$，所以$\triangle AOE$为等边三角形，且$\vert\overrightarrow{OE}\vert = 1$。又因为$\angle AOC = \frac{2\pi}{3}$，$\vert\overrightarrow{OC}\vert = 1$，所以$\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = \boldsymbol{0}$，此时$\vert\boldsymbol{p}\vert = \vert\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\vert = 0$。综上所述，$0 \leq \vert\boldsymbol{p}\vert \leq 3$。

6. [多选题,2025 江苏金陵中学月考]如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,$\overrightarrow {AF}=\frac {1}{3}\overrightarrow {AE}$,则(BCD)


A.$\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {BC}-\frac {1}{3}\overrightarrow {BA}$
B.$\overrightarrow {BE}=\overrightarrow {BC}+\frac {1}{2}\overrightarrow {BA}$
C.$\overrightarrow {BF}=\frac {1}{3}\overrightarrow {BC}+\frac {5}{6}\overrightarrow {BA}$
D.$\overrightarrow {AE}+\overrightarrow {BE}=2\overrightarrow {BC}$

答案： 6. BCD 对于$A$，$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$，故$A$错误；对于$B$，$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$，故$B$正确；对于$C$，$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{5}{6}\overrightarrow{BA}$，故$C$正确；对于$D$，$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{BC}$，故$D$正确。