《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2023江苏海门中学月考]某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时(逆时针转动)，正好依次看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上(A)


A.快、新、乐
B.乐、新、快
C.新、乐、快
D.乐、快、新

答案： 1. A 根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③.

2. [2025重庆七校联考期末]如图1，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，BC=12，AD=13，AB=2√{3}，E为线段BC上的一点，BE=9，过点E作AB的平行线交AD于点F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE，如图2，则六面体ABCDFE的体积为(D)

A.$\frac{33\sqrt{3}}{2}$
B.$27\sqrt{3}$
C.$30\sqrt{3}$
D.$33\sqrt{3}$

答案：
2. D 如图，过点C作EF的平行线交DF于点G，连接AG，AC.在题图1中，因为BC//AD，AB⊥AD，EF//AB，所以EF⊥BC且EF⊥AD.因为平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE=EF，BE⊥EF，BE⊂平面ABEF，所以BE⊥平面CDFE，同理，AF⊥平面CDFE.又CG//EF，EC//FG，所以四边形EFGC为平行四边形，又EF⊥EC，所以平行四边形EFGC为矩形，则△GCD为直角三角形，所以$V_{A - \triangle CD}=\frac{1}{3}·S_{\triangle CD}·AF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}×9=3\sqrt{3}$.又CG//EF，EF//AB，且CG = EF = AB，所以四边形ABCG为平行四边形，则$S_{\triangle AGC}=S_{\triangle AGB}$，$V_{D - ABCG}=2V_{A - \triangle CG}=2V_{A - \triangle CD}=6\sqrt{3}$.又AF//BE，EC//FG，易证AF//平面BEC，FG//平面BEC，又AF∩FG=F，AF，FG⊂平面AFG，所以平面AFG//平面BEC，易知几何体AFG - BEC为三棱柱，$V_{AFG - BEC}=\frac{1}{2}×3×9×2\sqrt{3}=27\sqrt{3}$，故六面体ABCDFE的体积为$V_{D - ABCG}+V_{AFG - BEC}=33\sqrt{3}$.

3. [2023山西太原月考]在如图所示的菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，对角线AC，BD交于点O，将△ABD沿BD折到△A'BD的位置，使平面A'BD⊥平面BCD.以下命题：

①BD⊥A'C；②平面A'OC⊥平面BCD；③平面A'BC⊥平面A'CD；④三棱锥A'-BCD体积为1.
其中正确命题序号为(D)

A.①②③
B.②③
C.③④
D.①②④

答案：
3. D 如图.因为四边形ABCD是菱形，∠BAD = 60°，所以AB = AD = BC = CD = BD，O为BD的中点，所以BD⊥A'O，BD⊥CO，A'O∩CO = O，A'O，CO⊂平面A'OC，所以BD⊥平面A'OC，又A'C⊂平面A'OC，所以BD⊥A'C，故①正确.由①知BD⊥平面A'OC，又BD⊂平面BCD，所以平面A'OC⊥平面BCD，故②正确.
令A'C的中点为E，连接BE，DE，依题意，A'B = BC = A'D = CD，所以BE⊥A'C，DE⊥A'C，所以∠BED是二面角B - A'C - D的平面角，又因为平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD = BD，BD⊥A'O，所以A'O⊥平面BCD，△A'BD和△BCD是边长为2的正三角形，所以A'O = OC = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，且有A'O⊥OC，所以在Rt△A'OC中，A'C = $\sqrt{6}$，又△A'BC和△A'DC是两全等的等腰三角形，A'B = BC = A'D = CD = 2，A'C的中点为E，所以BE = DE = $\sqrt{2^{2}-(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，由已知可得BD = 2，则在△BDE中，$BD^{2}≠BE^{2}+DE^{2}$，所以∠BED≠90°，所以二面角B - A'C - D不是直二面角，故③错误.由已知可得，△BCD是边长为2的正三角形，又由上述可得，A'O⊥平面BCD，所以三棱锥A' - BCD的高即为A'O，所以三棱锥A' - BCD的体积为$\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}·A'O=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=1$，故④正确.

4. [多选题，2024江苏宿迁中学月考]一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是(AC)


A.AB⊥EF
B.AB与CM所成的角为60°
C.EF与MN是异面直线
D.MN//CD

答案：
4. AC 还原正方体，以正方形NACF为底面，如图，对于A，因为AB//CM，且CM⊥EF，所以AB⊥EF，故A正确；对于B，因为AB//CM，所以B错误；对于C，由图可得C显然正确；对于D，易知MN⊥CD，故D错误.