《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [多选题,河北沧州期末]某科研院所共有科研人员 200 人,统计得到如下数据:

欲了解该所科研人员的创新能力,决定抽取 40 名科研人员进行调查,那么(AD)

A.若按照研究学科进行分层抽样(比例分配),则数学学科科研人员一定被抽取 12 人
B.若按照性别进行分层抽样(比例分配),则男性科研人员可能被抽取 20 人
C.若按照简单随机抽样,则女性科研人员一定被抽取 10 人
D.若按照简单随机抽样,则可能抽出的均为数学学科科研人员

答案： 6. AD 对于A，按学科分层抽样，则数学学科抽样比为$\frac {60}{200}=\frac {3}{10}$，则数学学科抽取人数为$\frac {3}{10}×40=12$，故A正确.对于B，按性别分层抽样，男性抽样比为$\frac {120}{200}=\frac {3}{5}$，则男性科研人员被抽到的人数为$\frac {3}{5}×40=24$，故B错误.对于C，若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，故C错误.对于D，若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故D正确.

7. [2024 河南商丘期末]某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名,其中某路段从某校高一年级 1 000 人中按男、女比例,采用分层随机抽样抽取一个容量为 50 的样本,且样本中男生人数比女生人数多 20,则这 1 000 人中女生有300人.

答案： 7. 300 设样本中男生为$x$人，则女生为$(x-20)$人，所以$x+x-20=50$，解得$x=35$.设总体中女生人数为$n$，则$\frac {n}{1 000}=\frac {50-35}{50}$，解得$n=300$.

8. [信息阅读题,2024 黑龙江哈尔滨期末]二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本,用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数. 假设德军某月生产的坦克总数是 N,缴获的该月生产的 n 辆坦克编号从小到大$x_{1},x_{2},…,x_{n}$,即最大编号为$x_{n}$,且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的,因为生产坦克是连续编号的,所以缴获坦克的编号$x_{1},x_{2},…,x_{n}$,相当于从[0,N]中随机抽取的 n 个整数,这 n 个数将区间[0,N]分成(n+1)个小区间,由于 N 是未知的,除了最右边的区间外,其他 n 个区间都是已知的. 由于这 n 个数是随机抽取的,所以可以用前 n 个区间的平均长度$\frac{x_{n}}{n}$估计所有(n+1)个区间的平均长度$\frac{N}{n + 1}$,进而得到 N 的估计值. 例如,缴获坦克的编号是 3,5,12,18,20,则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为24.

答案： 8. 24 由于用前$n$个区间的平均长度$\frac {T}{n+1}$估计所有$(n+1)$个区间的平均长度$\frac {N}{n+1}$，而缴获坦克的编号是3,5,12,18,20，即$n=5$，$x_5=20$，故$\frac {20}{5}=\frac {N}{5+1}$，所以$N=24$，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为24.