《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [多选题，2025 山东菏泽月考]若 $ z $ 是复数，其在复平面内对应的点为 $ Z $，则下列说法正确的是 (BCD)

A.$ z - \overline{z} $ 为纯虚数
B.若 $ |z| = 2 $，则 $ |\frac{1}{z}| = \frac{1}{2} $
C.若 $ |z + i| = 1 $，则 $ Z $ 的轨迹是以 $ (0, -1) $ 为圆心，1 为半径的圆
D.若 $ i\overline{z} - z = 0 $，则 $ i\overline{z} + \overline{z} = 0 $

答案： 6. BCD 对于A，若$z = 0$，则$z - \overline{z} = 0$，不是纯虚数，故A错误；对于B，因为$|z| = 2$，所以$|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|} = \frac{1}{2}$，故B正确；对于C，设$z = x + yi(x, y \in R)$，$|z + i| = 1$，即$x^2 + (y + 1)^2 = 1$，表示圆心在$(0, -1)$，半径为$1$的圆，故C正确；对于D，因为$z = i\overline{z}$，所以$iz + z = i(i\overline{z}) + z = -z + z = 0$，故D正确.

7. [2024 江苏常州一中月考]在数学中，记表达式 $ ad - bc $ 为由 $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $ 所确定的二阶行列式. 若在复数域内，$ z_1 = 1 + i $，$ z_2 = \frac{2 + i}{1 - i} $，$ z_3 = \overline{z_2} $，则当 $ \begin{vmatrix} z_1 & z_2 \\ z_3 & z_4 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} - i $ 时，$ z_4 $ 的虚部为 ______ .

答案： 7. $-2$ 由题意可得$\begin{vmatrix}z_1&z_2\\z_3&z_4\end{vmatrix}=z_1z_4 - z_2z_3$. 因为$z_2 = \frac{2 + i}{1 - i} = \frac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$，所以$z_3 = \overline{z_2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i$，$z_2z_3 = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i)(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i) = \frac{5}{2}$，所以$(1 + i)z_4 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} - i$，则$(1 + i)z_4 = 3 - i$，所以$z_4 = \frac{3 - i}{1 + i} = \frac{(3 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = 1 - 2i$，则$z_4$的虚部是$-2$.

8. [2024 湖南长沙期中]已知在复平面内，$ O $ 为原点，向量 $ \overrightarrow{OM} = (a, b) $，对应的复数为 $ a + bi (a \in \mathbf{R}, b \in \mathbf{R}) $，将 $ \overrightarrow{OM} $ 绕点 $ O $ 沿逆时针方向旋转 $ \frac{\pi}{4} $，并将向量 $ \overrightarrow{OM} $ 的模变为原来的 $ \sqrt{2} $ 倍，得向量 $ \overrightarrow{ON} $，此时向量 $ \overrightarrow{ON} $ 对应的复数为 $ (a + bi) · (1 + i) = a - b + (a + b)i $. 现有一平行四边形 $ ABCD $，如图，$ A(1, 1) $，$ B(3, 2) $，$ |AD| = \sqrt{2}|AB| $，$ \angle BAD = 45^{\circ} $，则点 $ D $ 的直角坐标为(2, 4).

答案： 8. $(2, 4)$ 易得$\overrightarrow{AB} = (2, 1)$，故$\overrightarrow{AD}$对应的复数为$(2 + i)(1 + i) = 2 - 1 + (2 + 1)i$，即$\overrightarrow{AD} = (1, 3)$，$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} = (2, 4)$，即点D的直角坐标为$(2, 4)$.

9. [2025 上海浦东新区期中]已知复数 $ z $ 满足 $ |z - 1| = 1 $，复数 $ z_0 $ 满足 $ |z_0 - 2023 + 2024i| = ||z|^4 - 4z · \overline{z}^2 + 4z^2| $，则复数 $ z_0 $ 对应复平面上的点构成区域的面积是16π.

答案： 9. $16\pi$ 因为$|z - 1| = 1$，所以复数$z$对应的点$P$在以点$(1, 0)$为圆心，半径为$1$的圆上，$||z|^4 - 4z · \overline{z}^2 + 4z^2| = |z^2(z - 2)^2| = |z|^2 · |z - 2|^2$，注意$|z|$和$|z - 2|$表示点$P$到原点$O$和点$A(2, 0)$的距离，而$\triangle AOP$是直角三角形，所以$|z|^2 · |z - 2|^2 = |OP|^2 · |PA|^2 \leq (\frac{|OP|^2 + |PA|^2}{2})^2 = (\frac{|OA|^2}{2})^2 = 4$，故$|z_0 - 2023 + 2024i| \leq 4$，即$z_0$对应的点到$(2023, -2024)$的距离不超过$4$，所以$z_0$对应的点构成以$(2023, -2024)$为圆心、半径为$4$的圆，面积是$16\pi$.