《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

8. [生活生产,2025湖北十堰期末]密铺,即平面图形的镶嵌,指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接,使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.如图1,这是一个密铺图形,它由四个完全相同的平面四边形组成,小华为了进一步研究这个密铺图形,单独绘制出组成这个密铺图形的四边形ABCD,如图2,其中BC=2CD=4,AB=AD=3.
(1) 若△ABC的面积为2 $\sqrt{5}$,且B为锐角,求AC的长度.
(2) 试问2cos B - cos D是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
(3) 求四边形ABCD面积的最大值.
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答案： 8.解:
(1)因为$\triangle ABC$的面积为$2\sqrt{5}$,所以$S=\frac{1}{2}AB· BC\sin B = 6\sin B = 2\sqrt{5}$,解得$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$.因为$B$为锐角,所以$\cos B=\sqrt{1-\sin^{2}B}=\frac{2}{3}$.在$\triangle ABC$中,由余弦定理可得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB· BC\cos B = 9 + 16 - 2×3×4×\frac{2}{3}=9$,所以$AC = 3$.
(2)在$\triangle ABC$中,由余弦定理得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB· BC\cos B = 25 - 24\cos B$.在$\triangle ACD$中,由余弦定理得$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2AD· CD\cos D = 13 - 12\cos D$,所以$25 - 24\cos B = 13 - 12\cos D$,即$2\cos B - \cos D = 1$,所以$2\cos B-\cos D$为定值,且定值为$1$.
(3)因为四边形$ABCD$的面积为$S = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB· BC\sin B+\frac{1}{2}AD· CD\sin D = 3(2\sin B+\sin D)$,所以$S^{2}=9(4\sin^{2}B + 4\sin B\sin D+\sin^{2}D)$,由
(2)可知$2\cos B-\cos D = 1$,所以$4\cos^{2}B-4\cos B\cos D+\cos^{2}D=1$,所以$S^{2}+9 = 9(4\sin^{2}B+4\sin B\sin D+\sin^{2}D)+9(4\cos^{2}B-4\cos B\cos D+\cos^{2}D)=9(5 + 4\sin B\sin D-4\cos B\cos D)$,所以$S^{2}=36 - 36(\cos B\cos D-\sin B\sin D)=36 - 36\cos(B + D)$.当$\cos(B + D)= - 1$,即$B + D=\pi$时,$S^{2}$取得最大值$72$,所以$S_{\max}=6\sqrt{2}$,即四边形$ABCD$面积的最大值为$6\sqrt{2}$.

9. [2025湖南湘一名校联盟期末]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,且$\frac{\sin A}{\sin B - \sin C}$= $\frac{b + c}{b - a}$.
(1) 求角C的大小;
(2) 若G为△ABC内一点且$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+2$\overrightarrow{GC}$=0,求GC长度的最大值;
(3) 若△ABC为锐角三角形,求△ABC的周长的取值范围.

答案： 9.解:
(1)因为$\frac{\sin A}{\sin B-\sin C}=\frac{b + c}{b - a}$,所以$\frac{a}{b - c}=\frac{b + c}{b - a}$,整理可得$ab = a^{2}+b^{2}-c^{2}$,所以$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$,因为$C\in(0,\pi)$,所以$C=\frac{\pi}{3}$.
(2)取$AB$的中点$D$,连接$CD$,所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GD}$,因为$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC}=0$,所以$\overrightarrow{GD}=-\overrightarrow{GC}$,所以$G$为$CD$的中点.因为$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$,所以$\overrightarrow{CD}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}^{2}+\overrightarrow{CB}^{2}+2\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB})=\frac{1}{4}(b^{2}+a^{2}+2ab\cos C)=\frac{1}{4}(b^{2}+a^{2}+ab)$,由余弦定理可得$4 = a^{2}+b^{2}-ab\geq2ab - ab = ab$,即$ab\leq4$,当且仅当$a = b = 2$时等号成立,所以$\overrightarrow{CD}^{2}=\frac{1}{4}(4 + 2ab)\leq\frac{1}{4}×(4+2×4)=3$,所以$|\overrightarrow{CD}|\leq\sqrt{3}$,所以$|\overrightarrow{CG}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CD}|\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$GC$长度的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(3)由正弦定理得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,所以$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin A,b=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin B$,所以$a + b + c=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin A+\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin B+2=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin A+\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin(A+\frac{\pi}{3})+2=2\sqrt{3}\sin A+2\cos A+2 = 4\sin(A+\frac{\pi}{6})+2$.因为$\triangle ABC$为锐角三角形,所以$\begin{cases}0＜A＜\frac{\pi}{2},\\0＜\frac{2\pi}{3}-A＜\frac{\pi}{2},\end{cases}$解得$\frac{\pi}{6}＜A＜\frac{\pi}{2}$,所以$\frac{\sqrt{3}}{2}＜\sin(A+\frac{\pi}{6})\leq1$,所以$4\sin(A+\frac{\pi}{6})+2\in(2\sqrt{3}+2,6]$,所以$\triangle ABC$的周长的取值范围为$(2\sqrt{3}+2,6]$.