《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025 新高考卷Ⅰ,1]$(1 + 5i)i$的虚部为(C)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$6$

答案： 1. C 令$z=(1 + 5i)i$，则$z = 5i^{2}+i=-5 + i$，所以$z$的虚部为$1$。

2. [2025 新高考卷Ⅱ,2]已知$z = 1 + i$，计算$\frac{1}{z - 1}=$(A)

A.$-i$
B.$i$
C.$-1$
D.$1$

答案： 2. A 由题意得$\frac{1}{z - 1}-\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=-i$。

3. [2025 北京卷,2]已知复数$z$满足$i· z + 2 = 2i$，则$|z|=$(B)

A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$8$

答案： 3. B 由$i· z + 2 = 2i$，得$i· z=-2 + 2i$，则$z=\frac{-2 + 2i}{i}=\frac{(-2 + 2i)(-i)}{-i^{2}}=2 + 2i$，得$\vert z\vert=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$。

4. [2024 新高考卷Ⅰ,2]若$\frac{z}{z - 1} = 1 + i$，则$z=$(C)

A.$-1 - i$
B.$-1 + i$
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案： 4. C $z=(z - 1)(1 + i)=(1 + i)z-1 - i$，故$z=\frac{1 + i}{i}=\frac{1 - i}{-1}=1 - i$。

5. [2024 新高考卷Ⅱ,1]已知$z = -1 - i$，则$|z|=$(C)

A.$0$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$

答案： 5. C $\vert z\vert=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$。

6. [2024 年全国甲卷理,1]设$z = 5 + i$，则$i(\overline{z} + z)=$(A)

A.$10i$
B.$2i$
C.$10$
D.$2$

答案： 6. A 由$z = 5 + i$得$\bar{z}=5 - i$，所以$i(\bar{z}+z)=10i$。

7. [2023 全国乙卷文,1]$|2 + i^{2} + 2i^{3}|=$(C)

A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$5$

答案： 7. C $\vert2 + i^{2}+2i^{3}\vert=\vert2 - 1 - 2i\vert=\vert1 - 2i\vert=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}$。

8. [2023 全国甲卷理,2]若复数$(a + i)(1 - ai) = 2$，$a\in\mathbf{R}$，则$a=$(C)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 8. C 因为$(a + i)(1 - ai)=a - a^{2}i + i + a=2a+(1 - a^{2})i = 2$，所以$\begin{cases}2a = 2,\\1 - a^{2}=0,\end{cases}$解得$a = 1$。

9. [2023 新高考Ⅰ卷,2]已知$z = \frac{1 - i}{2 + 2i}$，则$z - \overline{z}=$(A)

A.$-i$
B.$i$
C.$0$
D.$1$

答案： 9. A $z=\frac{1 - i}{2 + 2i}=\frac{(1 - i)(1 - i)}{2(1 + i)(1 - i)}=-\frac{1}{2}i$，则$z-\bar{z}=\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i = -i$。

10. [2023 全国乙卷理,1]设$z = \frac{2 + i}{1 + i^{2} + i^{5}}$，则$\overline{z}=$(B)

A.$1 - 2i$
B.$1 + 2i$
C.$2 - i$
D.$2 + i$

答案： 10. B $z=\frac{2 + i}{1 + i^{2}+i^{5}}=\frac{2 + i}{1 - 1 + i}=\frac{2 + i}{i}=\frac{2i + i· i}{i· i}=1 - 2i$，则$\bar{z}=1 + 2i$。

11. [2023 全国甲卷文,2]$\frac{5(1 + i^{3})}{(2 + i)(2 - i)}=$(C)

A.$-1$
B.$1$
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案： 11. C $\frac{5(1 + i^{3})}{(2 + i)(2 - i)}=\frac{5(1 - i)}{5}=1 - i$。

12. [2022 新高考Ⅰ卷,2]若$i(1 - z) = 1$，则$z + \overline{z}=$(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 12. D $1 - z=\frac{1}{i}$，则$z = 1 + i$，所以$z+\bar{z}=1 + i+1 - i = 2$。

13. [2022 新高考Ⅱ卷,2]$(2 + 2i)(1 - 2i)=$(D)

A.$-2 + 4i$
B.$-2 - 4i$
C.$6 + 2i$
D.$6 - 2i$

答案： 13. D $(2 + 2i)(1 - 2i)=2-4i^{2}-2i = 6 - 2i$。

14. [2022 全国甲卷理,1]若$z = -1 + \sqrt{3}i$，则$\frac{z}{z\overline{z} - 1}=$(C)

A.$-1 + \sqrt{3}i$
B.$-1 - \sqrt{3}i$
C.$-\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}i$
D.$-\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}i$

答案： 14. C 因为$z=-1+\sqrt{3}i$，所以$\frac{z}{z·\bar{z}-1}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)-1}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}i$。

15. [2022 全国乙卷理,2]已知$z = 1 - 2i$，且$z + a\overline{z} + b = 0$，其中$a$，$b$为实数，则(A)

A.$a = 1$，$b = -2$
B.$a = -1$，$b = 2$
C.$a = 1$，$b = 2$
D.$a = -1$，$b = -1$

答案： 15. A 因为$z = 1 - 2i$，所以$\bar{z}=1 + 2i$，因此$z+a\bar{z}+b=1 - 2i+a(1 + 2i)+b=a + b + 1+(2a - 2)i = 0$，所以$\begin{cases}a + b + 1 = 0,\\2a - 2 = 0,\end{cases}$解得$a = 1$，$b=-2$。

16. [2021 新高考全国Ⅱ卷,1]在复平面内，复数$\frac{2 - i}{1 - 3i}$对应的点位于(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 16. A $\frac{2 - i}{1 - 3i}=\frac{(2 - i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)}=\frac{5 + 5i}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应点的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，位于第一象限。

17. [2021 新高考全国Ⅰ卷,2]已知$z = 2 - i$，则$z(\overline{z} + i)=$(C)

A.$6 - 2i$
B.$4 - 2i$
C.$6 + 2i$
D.$4 + 2i$

答案： 17. C 因为$z = 2 - i$，所以$\bar{z}=2 + i$，故$z(\bar{z}+i)=(2 - i)(2 + 2i)=6 + 2i$。

18. [2021 全国乙卷理,1]设$2(z + \overline{z}) + 3(z - \overline{z}) = 4 + 6i$，则$z=$(C)

A.$1 - 2i$
B.$1 + 2i$
C.$1 + i$
D.$1 - i$

答案： 18. C 设$z=a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，则$z+\bar{z}=2a$，$z - \bar{z}=2bi$，所以$2(z+\bar{z})+3(z - \bar{z})=4a + 6bi=4 + 6i$，所以$a = b = 1$，所以$z = 1 + i$。

19. [2021 全国甲卷理,3]已知$(1 - i)^{2}z = 3 + 2i$，则$z=$(B)

A.$-1 - \frac{3}{2}i$
B.$-1 + \frac{3}{2}i$
C.$-\frac{3}{2} + i$
D.$-\frac{3}{2} - i$

答案： 19. B $z=\frac{3 + 2i}{(1 - i)^{2}}=\frac{3 + 2i}{-2i}=\frac{3i + 2i· i}{-2i· i}=-1+\frac{3}{2}i$。

20. [2025 天津卷,10]已知$i$是虚数单位，则$|\frac{3 + i}{i}| = $$\sqrt{10}$.

答案： 20. $\sqrt{10}$ 因为$\frac{3 + i}{i}=\frac{(3 + i)i}{i^{2}}=\frac{i^{2}+3i}{i^{2}}=\frac{-1 + 3i}{-1}=1 - 3i$，所以$\vert\frac{3 + i}{i}\vert=\vert1 - 3i\vert=\sqrt{1+(-3)^{2}}=\sqrt{10}$。