《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [多选题，2024 河北保定期中]在△ABC 中，AB = 1，AC = 2，A = $\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{BC} = 5\overrightarrow{CD}$，E 为 AC 的中点，则(BD)

A.$\overrightarrow{BD} = 4\overrightarrow{DC}$
B.$\overrightarrow{AD} = \frac{6}{5}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$
C.$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} = 1$
D.$\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{BE} = \frac{39}{10}$

答案： 6.BD因为$\overrightarrow{BC}$=5$\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{BD}$=6$\overrightarrow{CD}$，故A错误；由向量加法的三角形法则，可得$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{6}{5}$($\overrightarrow{AC}$−$\overrightarrow{AB}$)=$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AC}$−$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$，故B正确；由数量积公式得$\overrightarrow{AB}$·$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|·|$\overrightarrow{AC}$|cos$\frac{2π}{3}$=−1，故C错误；$\overrightarrow{AD}$·$\overrightarrow{BE}$=($\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AC}$−$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$)·($\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$−$\overrightarrow{AB}$)=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AC}$²−$\frac{13}{10}$$\overrightarrow{AB}$·$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$²=$\frac{3}{5}$×4−$\frac{13}{10}$×(−1)+$\frac{1}{5}$×1=$\frac{39}{10}$，故D正确.

7. [多选题，2023 江苏淮阴中学期中]江苏省淮阴中学美丽的校园中，最著名的景点是光荣之门，四面石墙围绕着喷泉，可近似地看作是正八边形的一半。如图，在五边形 ABCDE 中，AB = BC = CD = DE，则下列结论正确的是(ACD)


A.$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \sqrt{2}\overrightarrow{OB}$
B.$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影向量为$(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)\overrightarrow{AB}$
D.若点 P 在线段 CD 上，且$\overrightarrow{BP} = x\overrightarrow{BC} + y\overrightarrow{BA}$，则$x + y$的最大值是$2 + \sqrt{2}$

答案：
7.ACD如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意可得，AB=BC=CD=DE=1，∠AOB=∠CBx=$\frac{π}{4}$，∠OAB=$\frac{3π}{8}$，则A(0,0)，B(1,0)，C(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)，D(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)，且O($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$).因为$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=(−$\frac{1}{2}$,−$\frac{\sqrt{2}}{2}$−$\frac{1}{2}$)+(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)=($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$)，$\sqrt{2}\overrightarrow{OB}$=$\sqrt{2}$($\frac{1}{2}$,$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$)=($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$)，所以$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=$\sqrt{2}\overrightarrow{OB}$，故A正确；$\overrightarrow{AD}$=(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)，2$\overrightarrow{BC}$=2($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)=($\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$)，所以$\overrightarrow{AD}$≠2$\overrightarrow{BC}$，故B错误；又$\overrightarrow{AD}$=(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)，$\overrightarrow{AB}$=(1,0)，所以$\frac{\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，即$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{AB}$向量上的投影向量为($\frac{\sqrt{2}}{2}$+1)$\overrightarrow{AB}$，故C正确；若P在线段DC(包括端点)上，设$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{DC}$，λ∈[0,1]，所以$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{BD}$+λ$\overrightarrow{DC}$=($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$1+\frac{\sqrt{2}}{2}-\lambda$)，$\overrightarrow{BA}$=( - 1,0)，$\overrightarrow{BC}$=($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)，由$\overrightarrow{BP}$=x$\overrightarrow{BC}$+y$\overrightarrow{BA}$，可得$\begin{cases}\frac{\sqrt{2}}{2}=-y+\frac{\sqrt{2}}{2}x,\\1+\frac{\sqrt{2}}{2}-\lambda=\frac{\sqrt{2}}{2}x,\end{cases}$则$\begin{cases}y=-\lambda+1,\\x=\sqrt{2}+1-\sqrt{2}\lambda,\end{cases}$x+y=$\sqrt{2}$+2−($\sqrt{2}$+1)λ，λ∈[0,1]，所以x + y∈[1,2+$\sqrt{2}$]，即x + y的最大值为2+$\sqrt{2}$，故D正确.

8. [2025 河北邱县一中月考]如图，在平面四边形 ABCD 中，∠CBA = ∠CAD = 90°，∠ACD = 30°，AB = BC，点 E 在线段 BC 上，且满足$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，若$\overrightarrow{AC} = λ\overrightarrow{AD} + μ\overrightarrow{AE}(λ, μ ∈ R)$，则$λμ$ = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

答案：
8.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$如图，以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，设AB=BC=2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(2,$\frac{2}{3}$)，$\overrightarrow{AC}$=(2,2)，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$tan30°=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，过点D作DF⊥x轴于F，则∠DAF=45°.由DF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$sin45°=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得D(−$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)，$\overrightarrow{AC}$=(2,2)，$\overrightarrow{AD}$=(−$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)，$\overrightarrow{AE}$=(2,$\frac{2}{3}$).因为$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AD}$+μ$\overrightarrow{AE}$，所以$\begin{cases}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\lambda+2\mu=2,\frac{2\sqrt{3}}{3}\lambda+\frac{2}{3}\mu=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda=\frac{\sqrt{3}}{2},\\\mu=\frac{3}{2},\end{cases}$可得λμ的值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

9. [2024 江苏宿迁中学期末]如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P 为 AD 的中点，AQ = $\frac{1}{2}$，M 为正方形 ABCD 的边上的一个动点，则$\overrightarrow{PQ} · \overrightarrow{PM}$的最大值为2。

答案：
9.2如图所示，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，P(0,1)，Q($\frac{1}{2}$,0)，所以$\overrightarrow{PQ}$=($\frac{1}{2}$,-1).

(1)当点M在边AB上时，设M(x,0)，0≤x≤2，则$\overrightarrow{PM}$=(x,-1)，所以$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{2}$x+1，所以当x=2时，$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$取最大值为2.
(2)当点M在边BC上时，设M(2,y)，0≤y≤2，则$\overrightarrow{PM}$=(2,y - 1)，所以$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$=1 - y+1=2 - y，所以当y=0时，$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$取最大值为2.
(3)当点M在边CD上时，设M(x,2)，0≤x≤2，则$\overrightarrow{PM}$=(x,1)，所以$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{2}$x - 1，所以当x=2时，$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$取最大值为0.
(4)当点M在边AD上时，设M(0,y)，0≤y≤2，则$\overrightarrow{PM}$=(0,y - 1)，所以$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$=1 - y，所以当y=0时，$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$取最大值为1.综上所述，$\overrightarrow{PQ}$·$\overrightarrow{PM}$的最大值为2.