《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025上海同济大学一附中期末]如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，F是PB的中点，点E在边BC上移动.
(1)当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由.
(2)无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值？若是，求出其大小；若不是，请说明理由.

答案：
解：
(1) 当 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行. 理由如下：在 △PBC 中，因为 E，F 分别为 BC，PB 的中点，所以 EF//PC. 又因为 EF⊄平面 PAC，PC⊂平面 PAC，所以 EF//平面 PAC.
(2) 无论点 E 在边 BC 的何处，PE 与 AF 所成角都是定值，并且定值为 90°. 理由如下：如图，连接 EF，由于 PA ⊥ 平面 ABCD，BE⊂平面 ABCD，所以 EB⊥PA. 又因为 EB⊥AB，AB∩AP = A，AB，AP⊂平面 PAB，所以 EB⊥平面 PAB. 又因为 AF⊂平面 PAB，所以 AF⊥BE. 又因为 PA = AB = 1，F 是 PB 的中点，所以 AF⊥PB. 又因为 PB∩BE = B，PB，BE⊂平面 PBE，所以 AF⊥平面 PBE. 又因为 PE⊂平面 PBE，所以 AF⊥PE，即无论点 E 在边 BC 的何处，PE 与 AF 所成角都是定值 90°.
　　　　　　　

2. [2025广东卓越教育发展联盟学校月考]如图所示，多面体A₁B₁D₁DCBA是由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中AB=4，AD=3，AA₁=2，E为B₁D₁的中点，过A₁，D，E三点的平面交CD₁于点F.
(1)求该多面体A₁B₁D₁DCBA的体积；
(2)求证：B₁C//平面A₁DE；
(3)判断直线EF与直线B₁C的位置关系，并对你的结论加以证明.

答案：
(1) 解：长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的体积 V₁ = 4×3×2 = 24，被截去的三棱锥的体积$ V₂ = \frac{1}{3}×(\frac{1}{2}×4×3)×2 = 4，$所以多面体 A₁B₁D₁DCBA 的体积为 V₁ - V₂ = 24 - 4 = 20.
(2) 证明：在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，A₁B₁//CD，所以四边形 A₁B₁CD 为平行四边形，所以 B₁C//A₁D. 又 B₁C⊄平面 A₁DE，A₁D⊂平面 A₁DE，所以 B₁C//平面 A₁DE.
(3) 解：EF//B₁C. 证明如下：由
(2) 知 B₁C//平面 A₁DE，又 B₁C⊂平面 D₁B₁C，平面 D₁B₁C∩平面 A₁DE = EF，所以 B₁C//EF.