《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [2023 湖北武汉外国语学校月考]如图，$l_1// l_2$，$l_3$与$l_1,l_2$分别交于$A,B$两点，$l_4$与$l_1,l_2$分别交于$C,D$两点，$E\in AD$. 求证:$A,B,C,D,E$五点共面.

答案： 6. 证明：因为l₁//l₂，所以直线l₁，l₂可确定一个平面，记该平面为α.因为A，C∈l₁，B，D∈l₂，所以A，B，C，D∈α，则AD⊂α.因为E∈AD，所以E∈α，故A，B，C，D，E五点共面.

7. [2025 上海复旦中学期末]如图，在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$G,H$分别是$B_1C_1,C_1D_1$的中点.
(1) 作出平面$ACD_1$与平面$BDC_1$的交线，并说明理由；
(2) 求证:$B,D,H,G$四点在同一平面内.

答案：
7.
(1)解：设AC∩BD=M，C₁D₁∩CD₁=N，连接MN.因为M，N分别在平面ACD₁和平面BDC₁内，所以平面ACD₁∩平面BDC₁=MN.
(2)证明：连接B₁D₁，则HG//D₁B₁//DB.故B，D，G，H四点共面.

8. [2025 安徽马鞍山二中期中]如图，已知$E,F,G,H$分别是正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱$AB,BC,CC_1,C_1D_1$的中点，$AB=2$.

(1) 求证:直线$EF,HG,DC$交于同一点；
(2) 作出过$A,G,D_1$三点的截面(写出作图过程，保留作图痕迹)，并计算截面图形的周长.

答案：
8.
(1)证明：在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，如图，连接EH，BC₁，FG，因为HC₁//DC//EB，HC₁=$\frac{1}{2}$DC=EB，则四边形EHC₁B是平行四边形，则EH//BC₁.因为F，G分别是BC，CC₁的中点，则BC₁//FG，故EH//FG，所以E，H，F，G四点共面.因为EH≠FG，则EF，HG相交，设交点为Q，则Q∈EF，而EF⊂平面ABCD，则Q∈平面ABCD，同理Q∈平面CDD₁C₁，而平面ABCD∩平面CDD₁C₁=DC，故Q∈DC，即点Q在直线DC上，所以直线EF，HG，DC交于同一点Q.

(2)解：如图所示，依次连接AF，FG，GD₁，D₁A，易证GF//BC₁//AD₁，故A，D₁，G，F四点共面，则平面AFGD₁即为所求截面，而AD₁=2$\sqrt{2}$，FG=$\frac{1}{2}$BC₁=$\sqrt{2}$，AF=D₁G=$\sqrt{5}$，所以四边形AFGD₁的周长为3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$.