《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

5. [2024 山东烟台期末]在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a(a＞0)，PA⊥平面 ABCD，且 PA=1。若边 BC 上存在两个不同的点 Q₁，Q₂，使得 PQ₁⊥DQ₁，PQ₂⊥DQ₂，则 a 的取值范围是(2,+∞)。

答案：
5.(2,+∞)　如图,因为PA⊥平面ABCD,DQ⊂平面ABCD,所以PA⊥DQ,若PQ⊥DQ,则有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,则“边BC上存在两个点Q₁,Q₂使得PQ₁⊥DQ₁,PQ₂⊥DQ₂”就转化为“边BC上存在两个点Q₁,Q₂使得AQ₁⊥DQ₁,AQ₂⊥DQ₂”,即以AD为直径的圆与边BC有两个交点，则圆的圆心到边BC的距离小于半径，即AB ＜ $\frac{AD}{2}$,其中AB = 1,AD = BC = a(a ＞ 0),所以1 ＜ $\frac{a}{2}$,即a ＞ 2,所以a的取值范围是(2,+∞).

6. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是 AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且 SA=SB=SC。
（1）求证：SD⊥平面 ABC；
（2）若 AB=BC，求证：BD⊥平面 SAC。

答案： 6.证明:
(1)因为SA = SC,D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD = BD,又SA = SB,SD = SD,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD = D,AC,BD⊂平面ABC,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB = BC,D为AC的中点，所以BD⊥AC.由
(1)知SD⊥BD,又SD∩AC = D,SD,AC⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC.

7. [2025 北京东城期末]如图，在直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，AC=1/2 AA₁=1，BC=√{2}，D 是棱 AA₁ 的中点，C₁D⊥BD。
（1）求证：C₁D⊥BC；
（2）求证：平面 BCC₁B₁⊥平面 ACC₁A₁；
（3）求四棱锥 C - ABB₁A₁ 的体积。

答案：
7.
(1)证明:如图，连接CD,由于AC = $\frac{1}{2}$AA₁ = 1,BC = $\sqrt{2}$,D是棱AA₁的中点，故CD = C₁D = $\sqrt{2}$.因为CD² + C₁D² = 4 = CC₁²,所以C₁D⊥CD,又C₁D⊥BD,且CD∩BD = D,CD,BD⊂平面BCD,所以C₁D⊥平面BCD,而BC⊂平面BCD,所以C₁D⊥BC;

(2)证明:由
(1)的结论,BC⊥C₁D.因为CC₁⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以CC₁⊥BC,因为CC₁∩C₁D = C₁,CC₁⊂平面ACC₁A₁且C₁D⊂平面ACC₁A₁,所以BC⊥平面ACC₁A₁，又BC⊂平面BCC₁B₁,所以平面BCC₁B₁⊥平面ACC₁A₁.
(3)解:根据题意，由
(2)的结论，BC⊥平面ACC₁A₁,由于AC⊂平面ACC₁A₁,则BC⊥AC,故AB = $\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$ = $\sqrt{3}$.如图，过点C作CH⊥AB,交AB于点H,又由$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$ = $\frac{1}{2}×\sqrt{3}× CH$,解可得CH = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.因为AA₁⊥平面ABC,而CH⊂平面ABC,所以AA₁⊥CH,因为AA₁∩AB = A,而AA₁,AB⊂平面ABB₁A₁,所以CH⊥平面ABB₁A₁,则CH为四棱锥C - ABB₁A₁的高，故V_{C - ABB₁A₁} = $\frac{1}{3}× S_{四边形ABB₁A₁}× CH$ = $\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

8. [2024 辽宁大连期末]如图，在正三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，点 D，E 分别在 AA₁，CC₁ 上，AD=C₁E=λCC₁（0＜λ＜1），记正三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 的体积为 V。
（1）求四棱锥 B - ACED 的体积（结果用 V 表示）。
（2）若 λ=1/3。
①请在图中直接画出平面 BDE 与平面 BAC 的交线（不写过程，保留作图痕迹）；
②求证：平面 BDE⊥平面 BCE。

答案：
8.
(1)解:因为AD = C₁E = λCC₁(0 ＜ λ ＜ 1),则A₁D = CE,所以S_{四边形ACED} = S_{四边形A₁DEC}.设矩形ACC₁A₁的面积为S,则S_{四边形ACED} = $\frac{1}{2}$S,S_{△ACC₁} = $\frac{1}{2}$S,所以四棱锥B - ACED的体积与三棱锥B - ACC₁的体积相等.又三棱锥B - ACC₁的体积为$\frac{V}{3}$,所以四棱锥B - ACED的体积为$\frac{V}{3}$.
(2)①解:如图，延长CA,ED交于点F,连接BF.因为F∈DE,DE⊂平面BDE,F∈AC,AC⊂平面BAC,所以F∈平面BDE,F∈平面BAC.又B∈平面BDE,B∈平面ABC,所以平面BDE与平面BAC的交线为BF.

②证明:因为AD = $\frac{1}{2}$CE,AD//CE,所以AF = AC.又△ABC为等边三角形,所以AF = AC = AB,则∠AFB = ∠ABF = $\frac{\pi}{6}$,所以∠ABF + ∠ABC = $\frac{\pi}{6}$ + $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{\pi}{2}$,则FB⊥BC.又CE⊥平面ABC,BF⊂平面ABC,所以CE⊥BF.又CE∩BC = C,CE,BC⊂平面BCE,所以BF⊥平面BCE.又BF⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面BCE.