《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [2025 浙江温州期中]某班级男女生比例为 2:3,现调查学生周末在家学习时长(单位:h),得到男生样本数据的平均值为 3,方差为 4,女生样本数据的平均值为 5,方差为 2,则该班级全体学生周末在家学习时长的方差 s²的值是$\frac{94}{25}$.

答案： 7. $\frac{94}{25}$ 由题意知,该班全体学生周末在家学习时长数据的平均数为$\frac{2}{5}$×3+$\frac{3}{5}$×5=$\frac{21}{5}$,所以方差$s^2$=$\frac{2}{5}$×$[4+(3-\frac{21}{5})^2]$+$\frac{3}{5}$×$[2+(5-\frac{21}{5})^2]$=$\frac{94}{25}$.

8. [2025 安徽鼎尖名校联考]某学校高一年级开展了数学竞赛考试,考试成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),其中第二组的频数是第一组频数的 2 倍.

(1)求 a,b 的值,以及这次竞赛成绩的中位数;
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数:x₁,x₂,x₃,…,x₁₀,已知这 10 名学生分数的平均数 $\overline{x}=80$,方差 s²=40,若剔除其中的 70 和 90 两个分数,求剩余 8 名学生分数的平均数与方差.

答案： 8. 解:
(1)由题意可知,a=0.016×2=0.032,b=$\frac{1}{10}$-0.016-0.032-0.040-0.008=0.004,由于成绩在[50,70)内的频率为0.16+0.32=0.48,在[50,80)内的频率为0.16+0.32+0.4=0.88,故中位数位于[70,80),设中位数为m,则0.48+(m-70)×0.04=0.5,解得m=70.5,所以中位数为70.5分.
(2)由$\bar{x}$=80,可得$x_1+x_2+x_3+…+x_{10}$=800,则剔除其中的70和90两个分数,剩余8个数平均数为$\frac{800-70-90}{8}$=80(分).
解法1 又方差$s^2$=40,$s^2$=$\frac{1}{10}$[$[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_{10}-\bar{x})^2]$=$\frac{1}{10}$[$x_1^2+x_2^2+…+x_{10}^2-2(x_1+x_2+…+x_{10})\bar{x}+10\bar{x}^2]$=$\frac{1}{10}$[$x_1^2+x_2^2+…+x_{10}^2-2×10×80×8+10×80^2]$=$\frac{1}{10}$[$x_1^2+x_2^2+…+x_{10}^2-10×80^2]$=$\frac{1}{10}$($x_1^2+x_2^2+…+x_{10}^2)-6400$=40,则$x_1^2+x_2^2+…+x_{10}^2$=64400,则剩余的8个数的方差为$\frac{1}{8}$×(64400-$70^2-90^2$)-$80^2$=25.
解法2 不妨设$x_1$=70,$x_2$=90,则$s^2$=$\frac{1}{10}$[$(70-\bar{x})^2+(90-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+…+(x_{10}-\bar{x})^2]$=40,得$(x_3-\bar{x})^2+(x_4-\bar{x})^2+…+(x_{10}-\bar{x})^2$=200,则剩余的8个数的方差为$\frac{1}{8}$×200=25.