《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

9. [2024 湖北武汉期末]现随机抽取 1 000 名 A 校学生和 1 000 名 B 校学生参加一场知识问答竞赛,得到的竞赛成绩全部位于区间[40,100)内,现分别对两校学生的成绩作统计分析:对 A 校学生的成绩分析后发现,将其分成组距为 10,组数为 6,作频率分布直方图,且频率分布直方图中的 $Y(Y=\frac{频率}{组距})$ 满足函数关系 $Y=\left\{\begin{array}{l}0.1k× 2^{n - 1},1\leq n\leq 3,\\0.1k(8 - n),4\leq n\leq 6\end{array}\right.$ (n 为组数序号,n∈Z),关于 B 校学生成绩的频率分布直方图如图所示,假定每组组内数据都是均匀分布的.

(1)求 k 的值.
(2)若 B 校准备给前 50 名的学生奖励,应该奖励多少分以上的学生?
(3)现在设置一个标准 t 来判定某一学生是属于 A 校还是 B 校,将成绩小于 t 的学生判为 B 校,大于 t 的学生判为 A 校,将 A 校学生误判为 B 校学生的概率称为误判率 A,将 B 校学生误判为 A 校学生的概率称为误判率 B,误判率 A 与误判率 B 之和称作总误判率.若 t∈[50,70),求总误判率的最小值,以及此时 t 的值.

答案： 9. 解:
(1)由频率之和为1,得Y之和为0.1,即0.1×(k+2k+4k+4k+3k+2k)=0.1,解得k=$\frac{1}{16}$.
(2)根据B校学生成绩的频率分布直方图,设所求的分数为x,则(80-x)×0.00625×1000=50,解得x=72,所以应该奖励72分以上的学生.
(3)设总误判率为f(t),又t∈[50,70),当t∈[50,60)时,f(t)=0.1×10×$\frac{1}{16}$+0.1×$\frac{1}{8}$×(t-50)+0.0375×(60-t)+0.125=-$\frac{3t}{40}$+$\frac{29}{16}$,当t∈[60,70)时,f(t)=0.1×10×$\frac{1}{16}$+0.1×10×$\frac{1}{8}$+0.1×(t-60)×$\frac{1}{4}$+0.0625+0.00625×(70-t)=$\frac{3t}{160}$-$\frac{13}{16}$,由f(t)的单调性知,当t=60时,f(t)最小,此时f(t)=$\frac{5}{16}$,所以总误判率的最小值为$\frac{5}{16}$,此时t=60.