《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025 湖南常宁一中期末]如图,在矩形 ABCD 中,E 为边 AD 上靠近点 A 的三等分点,F 为边 AB 上靠近点 B 的四等分点,且线段 EF 交 AC 于点 P. 若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$,则$\overrightarrow{AP}=$ (B)

A.$\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{3}{4}\boldsymbol{b}$
B.$\frac{3}{13}\boldsymbol{a}+\frac{3}{13}\boldsymbol{b}$
C.$\frac{5}{14}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
D.$\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\frac{9}{16}\boldsymbol{b}$

答案： 1.B 因为E为边AD上靠近点A的三等分点，F为边AB上靠近点B的四等分点，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$.设$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AC}=\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\lambda(\frac{4}{3}\overrightarrow{AF}+3\overrightarrow{AE})$，因为E，F，P三点共线，所以$\frac{4}{3}\lambda+3\lambda=1$，解得$\lambda=\frac{3}{13}$，于是$\overrightarrow{AP}=\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{3}{13}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{3}{13}a+\frac{3}{13}b$.

2. [2022 山东济宁期中]正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系. 在如图所示的正五角星中,以 P,Q,R,S,T 为顶点的多边形为正五边形,且满足$\frac{PT}{AT}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. 下列关系式正确的是 (B)


A.$\overrightarrow{QR}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\overrightarrow{TP}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{TS}$
B.$\overrightarrow{QR}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\overrightarrow{TP}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{TS}$
C.$\overrightarrow{QR}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\overrightarrow{TP}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{TS}$
D.$\overrightarrow{QR}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{TP}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\overrightarrow{TS}$

答案： 2.B 连接PS.设$AT=2$，则$PT=\sqrt{5}-1$，所以$CQ=CR=AT=2$，$PQ=RS=PT=\sqrt{5}-1$，所以$\frac{CQ}{PQ}=\frac{CR}{RS}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，所以$QR// PS$，所以$\frac{QR}{PS}=\frac{CQ}{CP}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以$\overrightarrow{QR}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{PS}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}(\overrightarrow{TS}-\overrightarrow{TP})=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\overrightarrow{TP}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{TS}$.

3. [2023 江苏海安中学期中]已知在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,E 为 CD 的中点,AE 与 BD 交于点 F. 若$\overrightarrow{FE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{BD}$,则$m=$ (C)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{6}$

答案：
3.C 如图，因为平行四边形ABCD中，E为CD的中点，所以$\triangle ABF\sim\triangle EDF$，$\frac{AF}{EF}=\frac{BF}{DF}=\frac{AB}{DE}=2$，又$BO=OD$，设$OF=nFD$，则$\frac{BF}{DF}=\frac{OB+OF}{DF}=\frac{BO}{DF}+\frac{OF}{DF}=\frac{DO}{DF}+n=\frac{DF+OF}{DF}+n=1+n+n=2$，解得$n=\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OF})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BD})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{12}\overrightarrow{BD}$，故$m=\frac{1}{12}$.

4. [2025 重庆多校联考]在$\triangle ABC$中,点 D,N 分别满足$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$,若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{DN}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$,则有序实数对$(x,y)$为 (B)

A.$(\frac{1}{4},-\frac{3}{4})$
B.$(-\frac{3}{4},\frac{1}{4})$
C.$(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$
D.$(-\frac{1}{4},-\frac{3}{4})$

答案：
4.B 由题意，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-(\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b})=-\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}$，又$\overrightarrow{DN}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，所以$x=-\frac{3}{4}$，$y=\frac{1}{4}$，则有序实数对$(x,y)$为$(-\frac{3}{4},\frac{1}{4})$.

5. [多选题,2024 江苏苏州中学期中]下列说法正确的有 (ABD)

A.已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是平面内两个非零向量,对于实数 m,n,$m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}$一定在该平面内
B.已知$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$是平面内的一组基底,若实数 m,n 使$m\boldsymbol{e}_{1}+n\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{0}$,则$m = n = 0$
C.已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是平面内两个非零向量,若实数 m,n,p,q 使$m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}=p\boldsymbol{a}+q\boldsymbol{b}$,则$m = p,n = q$
D.已知$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$是平面内的一组基底,对平面内任一向量$\boldsymbol{a}$,使$\boldsymbol{a}=m\boldsymbol{e}_{1}+n\boldsymbol{e}_{2}$的实数 m,n 有且只有一对

答案： 5.ABD 对于A，$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是平面内两个非零向量，对于实数$m$，$n$，由向量运算法则得$m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}$一定在该平面内，故A正确；对于B，$\boldsymbol{e_1}$，$\boldsymbol{e_2}$是平面内的一组基底，若实数$m$，$n$使$m\boldsymbol{e_1}+n\boldsymbol{e_2}=0$，则由基底的定义得$m=n=0$，故B正确；对于C，$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是平面内两个非零向量，若实数$m$，$n$，$p$，$q$使$m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}=p\boldsymbol{a}+q\boldsymbol{b}$，当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共线时，$m=p$，$n=q$不一定成立，故C错误；对于D，已知$\boldsymbol{e_1}$，$\boldsymbol{e_2}$是平面内的一组基底，对平面内任一向量$\boldsymbol{a}$，由共面向量基本定理得使$\boldsymbol{a}=m\boldsymbol{e_1}+n\boldsymbol{e_2}$的实数$m$，$n$有且只有一对，故D正确.