《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [多选题，2024 湖南娄底中学期末]关于斜二测画法，下列说法正确的是(ABC)

A.在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B.若一个多边形的面积为 S，则在对应直观图中的面积为√2/4 S
C.一个梯形的直观图仍然是梯形
D.在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直

答案：
6.ABC　对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，如图1：
　　　　　　
在△ABC中，AD⊥BC，其面积S=$\frac{1}{2}$AD·BC，在其直观图(图2)中，
　　　　　　
作A'M⊥B'C'，则直观图的面积S'=$\frac{1}{2}$B'C'·A'M=$\frac{1}{2}$B'C'·A'D'·sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$S，因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的$\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积的$\frac{\sqrt{2}}{4}$，B正确；对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；对于D，在空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误.

7. [多选题，2025 广东梅州期中]如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中 O'C'=O'A'=2O'B'=2，则以下说法正确的是(BCD)

A.△ABC 是钝角三角形
B.△A'B'C'的面积是△ABC 的面积的√2/4 倍
C.△ABC 是等腰直角三角形
D.△ABC 的周长是 4 + 4√2

答案：
7.BCD　由题意，可得平面图如图所示，在斜二测直观图中，O'C'=O'A'=2O'B'=2，所以S$_{△A'B'C'}$=2×$\frac{1}{2}$×1×2×sin45°=$\sqrt{2}$，又OB=2O'B'=2，OA=O'A'=2，OC=O'C'=2，所以S$_{△ABC}$=$\frac{1}{2}$×4×2=4，所以△A'B'C'的面积是△ABC的面积的$\frac{\sqrt{2}}{4}$倍，故B正确.在△ABC 中，OC=OA=2，OB=2O'B'=2，所以AC=AO+CO=2+2=4，所以AB=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，因为AB$^{2}$+BC$^{2}$=AC$^{2}$，所以∠ABC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形，故A错误，C正确.又C$_{△ABC}$=AB+BC+AC=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$+4=4$\sqrt{2}$+4，故D正确.
　　　　　　

8. [2025 河北石家庄二中期中]如图，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形 O'A'B'C'(上底为 2，下底为 4，高为 2)，则原平面图形的面积为12$\sqrt{2}$。

答案： 8.12$\sqrt{2}$　根据题意，直观图为直角梯形O'A'B'C'，其上底为2，下底为4，高为2，则该直观图的面积S'=$\frac{(2+4)×2}{2}$=6，故原平面图形的面积S=2$\sqrt{2}$S'=12$\sqrt{2}$.

9. [2024 湖北咸宁期末]如图，在直角坐标系中水平放置的直角梯形 OABC，已知 O 为坐标原点，A(2√2,0)，B(2√2,2)，C(0,6)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形 O'A'B'C'的周长为6+2$\sqrt{2}$。

答案：
9.6+2$\sqrt{2}$　如图，画出直观图，过点A'作A'D⊥O'C'，垂足为D.因为O'C'=$\frac{1}{2}$OC=3，∠C'O'A'=∠B'A'x=45°，所以O'C'//A'B'，O'D=A'D=B'C'=2，C'D=1=A'B'，则A'O'=2$\sqrt{2}$，故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+2$\sqrt{2}$.