《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024吉林通化期末]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=6,sin A=1/4,则B= (A)

A.π/6或5π/6
B.π/3或2π/3
C.π/6
D.π/3

答案： 1. A 由正弦定理可得$\frac {a}{\sin A}$=$\frac {b}{\sin B}$,即$\sin B=\frac {b· \sin A}{a}$=$\frac {6 × \frac {1}{4}}{\frac {1}{2}}$,且$B \in (0, \pi)$,则$B=\frac {\pi}{6}$或$\frac {5\pi}{6}$。

2. [2025江苏常州期末]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若2S=b(a cos B+b cos A),则A=(D)

A.π/6
B.π/4
C.π/3
D.π/2

答案： 2. D 因为$2S = b(a \cos B + b \cos A) = b × (a × \frac {a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} + b × \frac {b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}) = bc$,所以$b c \sin A = bc$,所以$\sin A = 1$,即$A = \frac {\pi}{2}$。

3. [2025浙江杭州期末]在△ABC中,A=π/6,则“sin B＜1/2”是“△ABC是钝角三角形”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3. A 因为$A = \frac {\pi}{6}$,$\sin B ＜ \frac {1}{2}$,所以$B ＜ \frac {\pi}{6}$或$B ＞ \frac {5\pi}{6}$(舍去),又$B + C = \frac {5\pi}{6}$,故$C = \frac {5\pi}{6} - B ＞ \frac {2\pi}{3}$,所以$\triangle ABC$是钝角三角形,当$\triangle ABC$是钝角三角形,且$A = \frac {\pi}{6}$时,若$B$为钝角,则$B \in (\frac {\pi}{2}, \frac {5\pi}{6})$,此时$\sin B \in (\frac {1}{2}, 1)$.所以“$\sin B ＜ \frac {1}{2}$”是“$\triangle ABC$是钝角三角形”的充分不必要条件.

4. [2024湖南衡阳期中]莫利定理,也称为莫雷角三分线定理,是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理.该定理的内容如下:将任意三角形的三个内角三等分,则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点,这样的三个交点可以构成一个等边三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BC=8,△DEF是△ABC的莫利正三角形,则△DEF的边长为 (C)

A.√3
B.4-2√3
C.8-4√3
D.16-8√3

答案： 4. C 由题意可得$AB = AC = 4\sqrt {2}$.在$\triangle ABD$中,$\angle BAD = \frac {\pi}{6}$,$\angle ABD = \frac {\pi}{12}$,$\angle ADB = \frac {3\pi}{4}$,由正弦定理得$AD = \frac {AB \sin \angle ABD}{\sin \angle ADB} = \frac {4\sqrt {2} \sin \frac {\pi}{12}}{\sin \frac {3\pi}{4}} = 8 \sin \frac {\pi}{12}$,同理可得$AE = 8 \sin \frac {\pi}{12}$,$AD = AE$,$\angle DAE = \frac {\pi}{6}$,所以$DE = 2AD \sin \frac {\angle DAE}{2} = 2 × 8 × \sin \frac {\pi}{12} × \sin \frac {\pi}{12} = 16 × \frac {1 - \cos \frac {\pi}{6}}{2} = 8 - 4\sqrt {3}$.

5. [多选题,2025江苏宿迁期末]已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=60°,b=3,则下列说法正确的是 (ACD)

A.若a=2,则△ABC为锐角三角形
B.若c=2√2,则△ABC只有一解
C.若B=75°,则△ABC的面积为(27-9√3)/4
D.若△ABC为锐角三角形,则a∈(3/2,6)

答案： 5. ACD 对于A,因为$a = 2$,$C = 60^{\circ}$,$b = 3$,所以由余弦定理得$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cos C = 4 + 9 - 2 × 2 × 3 × \frac {1}{2} = 7$,所以$c = \sqrt {7}$,所以$b ＞ c ＞ a$,所以$180^{\circ} ＞ B ＞ C ＞ A ＞ 0^{\circ}$,因为$\cos B = \frac {a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} = \frac {4 + 7 - 9}{2 × 2 × \sqrt {6}} = \frac {\sqrt {6}}{12} ＞ 0$,所以$B ＜ \frac {\pi}{2}$,所以$\triangle ABC$为锐角三角形,故A正确;对于B,因为$c = 2\sqrt {2}$,$C = 60^{\circ}$,$b = 3$,所以$3 \sin 60^{\circ} ＜ c ＜ b$,所以$\triangle ABC$有两解,故B错误;对于C,因为$B = 75^{\circ}$,$C = 60^{\circ}$,所以$A = 45^{\circ}$,因为$b = 3$,所以$a = \frac {b \sin A}{\sin B} = \frac {3 × \frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2} + \sqrt {6}}{4}} = 3(\sqrt {3} - 1)$,所以$S = \frac {1}{2}ab \sin C = \frac {1}{2} × 3(\sqrt {3} - 1) × 3 × \frac {\sqrt {3}}{2} = \frac {27 - 9\sqrt {3}}{4}$,故C正确;对于D,因为$C = 60^{\circ}$,所以$A + B = 120^{\circ}$,若$\triangle ABC$为锐角三角形,则$\begin{cases} 0^{\circ} ＜ 120^{\circ} - B ＜ 90^{\circ}, \\ 0^{\circ} ＜ B ＜ 90^{\circ}, \end{cases}$解得$30^{\circ} ＜ B ＜ 90^{\circ}$,所以$\tan B ＞ \frac {\sqrt {3}}{3}$,所以$a = \frac {b \sin A}{\sin B} = \frac {3 \sin (120^{\circ} - B)}{\sin B} = \frac {\frac {3\sqrt {3}}{2} \cos B + \frac {3}{2} \sin B}{\sin B} = \frac {3\sqrt {3}}{2 \tan B} + \frac {3}{2} \in (\frac {3}{2}, 6)$,故D正确.

6. [多选题,2023江苏常州期中]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的有 (ACD)

A.若b cos A=a cos B,则△ABC为等腰三角形
B.若a² tan B=b² tan A,则△ABC为等腰三角形
C.若sin A/a=cos B/b=cos C/c,则△ABC为等腰直角三角形
D.若a²-b²=(a cos B+b cos A)²,则△ABC为直角三角形

答案： 6. ACD 对于A,$b \cos A = a \cos B$,由正弦定理可得,$\sin B \cos A = \sin A \cos B$,则$\sin A \cos B - \sin B \cos A = 0$,即$\sin (A - B) = 0$,所以$A = B$,则$\triangle ABC$为等腰三角形,故A正确;对于B,$a^{2} \tan B = b^{2} \tan A$,由正弦定理可得,$\sin ^{2} A · \frac {\sin B}{\cos B} = \sin ^{2} B · \frac {\sin A}{\cos A}$,即$\frac {\sin A}{\cos B} = \frac {\sin B}{\cos A}$,所以$\sin A \cos A = \sin B \cos B$,所以$\sin 2A = \sin 2B$,则$2A = 2B$或$2A + 2B = \pi$,即$A = B$或$A + B = \frac {\pi}{2}$,所以$\triangle ABC$为等腰三角形或直角三角形,故B错误;对于C,$\frac {\sin A}{a} = \frac {\cos B}{b} = \frac {\cos C}{c}$,由正弦定理可得$\frac {\sin A}{\sin A} = \frac {\cos B}{\sin B} = \frac {\cos C}{\sin C}$,则$\frac {1}{\tan B} = \frac {1}{\tan C} = 1$,所以$\tan B = \tan C = 1$,所以$B = C = \frac {\pi}{4}$,所以$\triangle ABC$为等腰直角三角形,故C正确;对于D,$a^{2} - b^{2} = (a \cos B + b \cos A)^{2}$,由余弦定理得,$a \cos B + b \cos A = c$,则$a^{2} - b^{2} = c^{2}$,所以$a^{2} = b^{2} + c^{2}$,则$\triangle ABC$为直角三角形,故D正确.