《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [2025 吉林长春期中]如图,在四棱锥 P - ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形,AC,BD 交于点 O,E 是棱 PB 上的一点,且 PD // 平面 EAC.
(1) 求证:E 是 PB 的中点.
(2) 在棱 BC 上是否存在点 G,使得平面 EOG // 平面 PCD? 若存在,请加以证明,并写出 $\frac{BG}{BC}$ 的值;若不存在,请说明理由.

答案： 7.
(1) 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点.因为PD//平面EAC，平面EAC∩平面PBD = EO，PD⊂平面PBD，所以PD//EO，所以$\frac{BE}{BP}=\frac{BO}{BD}=\frac{1}{2}$，所以E是PB的中点.
(2) 解：存在点G，使得平面EOG//平面PCD，此时$\frac{BG}{BC}=\frac{1}{2}$.证明如下：由题意知G为BC的中点，因为O是BD的中点，所以CD//GO.又CD⊂平面PCD，GO⊄平面PCD，所以GO//平面PCD，由
(1)知PD//EO.同理可得，EO//平面PCD，又EO∩GO = O，EO，GO⊂平面EOG，所以在棱BC上存在点G，使得平面EOG//平面PCD，且$\frac{BG}{BC}=\frac{1}{2}$.

8. [2025 浙江宁波期中]如图,已知四棱锥 S - ABCD,底面 ABCD 为梯形,AD // BC,SA = AB = BC = 2,AD = 3,P,Q 为侧棱 SD 上的点,且 DP:PQ:QS = 3:2:4,M 为 SA 上的点,且 3AM = AS.
(1) 求证:CP // 平面 SAB；
(2) 求证:平面 BMQ // 平面 ACP；
(3) 记平面 BMQ 与侧棱 SC 相交于点 E,求 $\frac{SE}{EC}$ 的值.

答案：
8.
(1) 证明：如图，连接MP，在△SAD中，因为$\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}=\frac{SP}{SD}$，所以MP//AD，且MP = $\frac{2}{3}$AD = 2.又因为AD//BC，BC = 2，所以MP//BC且MP = BC，所以四边形MPCB为平行四边形，所以CP//BM，又因为BM⊂平面SAB，CP⊄平面SAB，所以CP//平面SAB.
(2) 证明：由
(1)得CP//BM，又因为CP⊄平面BMQ，BM⊂平面BMQ，所以CP//平面BMQ.在△SAP中，$\frac{SQ}{SP}=\frac{2}{3}=\frac{SM}{SA}$，所以MQ//AP，又因为AP⊄平面BMQ，MQ⊂平面BMQ，所以AP//平面BMQ，又因为AP∩CP = P且AP，CP⊂平面ACP，所以平面ACP//平面BMQ.
(3) 解：由
(1)知BM//CP，又因为BM⊄平面SCD，CP⊂平面SCD，所以BM//平面SCD，又因为BM⊂平面BMQ，平面BMQ∩平面SCD = QE，所以BM//QE.又因为BM//CP，所以QE//CP，所以$\frac{SE}{EC}=\frac{SQ}{QP}=2$.