《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024江苏泰州月考]如图所示，点A，B在圆O上，向量a所在直线与圆O相切于点A，向量b= $\overrightarrow{AB}$。若已知下列选项给出的量，则可以得到a·b的是(D)

①|a|；②|b|；③圆O半径r；④∠AOB；⑤a·$\overrightarrow{OB}$。

A.①④
B.①②
C.③
D.⑤

答案： 1.D由于向量$a$所在直线与圆$O$相切于点$A$，故$a\perp \overrightarrow{AO}$，得$a· \overrightarrow{AO}=0$，所以$a· b=a· (\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})=a· \overrightarrow{AO}+a· \overrightarrow{OB}=a· \overrightarrow{OB}$.因此若已知$a· \overrightarrow{OB}$，则可得到$a· b$，D正确.因为$a· b=|a|· |b|\cos \langle a,b\rangle$，由图可知$\langle a,b\rangle$为钝角，所以$a· b＜0$，故其他选项均不能得到$a· b$，故A，B，C均错误.

2. [2023河北武邑中学期末]如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E为中线BD上的动点，F为BC的中点，则$\overrightarrow{FC}$·$\overrightarrow{FE}$的取值范围是(B)


A.$\left[-4,\frac{1}{2}\right]$
B.[-4,2]
C.$\left[-2,\frac{1}{2}\right]$
D.[-2,1]

答案： 2.B因为$\overrightarrow{FC}· \overrightarrow{FE}=|\overrightarrow{FC}|· |\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle$，其中$|\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle$为$\overrightarrow{FE}$在$\overrightarrow{FC}$上的投影，又因为$E$为边长为$4$的等边三角形$ABC$中线$BD$上的动点，$F$为$BC$的中点，当点$E$与点$D$重合时，$\triangle FDC$为等边三角形，此时$|\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle$有最大值，$|\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle =2× \cos 60^{\circ}=1$，当点$E$与点$B$重合时，此时$|\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle$有最小值，$|\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle =2× \cos 180^{\circ}=-2$，所以$-2\leq |\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle \leq 1$，又$|\overrightarrow{FC}|=2$，所以$-4\leq |\overrightarrow{FC}|· |\overrightarrow{FE}|\cos \langle \overrightarrow{FC},\overrightarrow{FE}\rangle \leq 2$，即$-4\leq \overrightarrow{FC}· \overrightarrow{FE}\leq 2$.

3. [2025江苏徐州期末]在梯形ABCD中，AB//CD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°。若$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影向量为$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AC}$=(C)

A.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
C.$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$

答案：
3.C依题意，设$DC=\lambda AB$，则$AC=AD + DC=\lambda AB+AD$.因为$AC$在$AB$上的投影向量为$\frac{1}{2}AB$，所以$\frac{AC· AB}{|AB|}=\frac{1}{2}|AB|$，又$AB = 2$，所以$AC· AB = 2$，即$\lambda AB^{2}+AB· AD = 2$.因为$AD = 1$，$AB = 2$，$\angle BAD = 60^{\circ}$，所以$4\lambda + 2× 1× \cos 60^{\circ}=2$，解得$\lambda=\frac{1}{4}$，所以$AC=\frac{1}{4}AB + AD$.
　　　　

4. [2025重庆月考]设P是边长为4的等边三角形ABC的三边上的动点，则$\overrightarrow{PA}$·($\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$)的取值范围为(C)

A.$\left[-\frac{9}{4},0\right]$
B.[0,8]
C.$\left[-\frac{9}{2},8\right]$
D.$\left[-\frac{9}{4},8\right]$

答案：
4.C如图，取$BC$的中点$D$，设$AD$的中点为$E$，所以$AD\perp BC$.因为$\triangle ABC$是边长为$4$的等边三角形，所以$AD = 2\sqrt{3}$，$AE=\sqrt{3}$，又$P$是边长为$4$的等边三角形$ABC$的三边上的动点，则$PB + PC = 2PD$，则$\overrightarrow{PA}· (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{PA}· \overrightarrow{PD}=2(\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{EA})· (\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{ED})=2(\overrightarrow{PE}^{2}-\overrightarrow{EA}^{2})=2|\overrightarrow{PE}|^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AD}|^{2}=2|\overrightarrow{PE}|^{2}-6$.由题意，当$EP\perp AB$时，$PE$最短；当$P$在边$BC$上时，$PE$最长.当$EP\perp AB$时，$\angle DAB = 30^{\circ}$，此时$PE = AE\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.在$\triangle EDB$中，由勾股定理可得$EB=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}$.所以$EP$的最大值为$\sqrt{7}$.所以$|\overrightarrow{PE}|^{2}\in [\frac{3}{4},7]$，所以$2|\overrightarrow{PE}|^{2}-6\in [-\frac{9}{2},8]$.
　　　　　

5. [多选题，2025陕西商洛期中]在△ABC中，已知$\overrightarrow{BA}$·$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BA}$²，P为线段BC上的动点，BC=2AB=4，则下列结论正确的是(AC)

A.∠B=$\frac{\pi}{3}$
B.若P为线段BC的中点，则$\overrightarrow{PA}$·$\overrightarrow{PB}$=4
C.$\overrightarrow{AC}$·$\overrightarrow{CB}$=-12
D.$\overrightarrow{PA}$·$\overrightarrow{PB}$的取值范围为$\left[-\frac{1}{2},12\right]$

答案：
5.AC对于A，如图，由$\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}^{2}$，得$\overrightarrow{BA}· (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{BA}^{2}+\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}^{2}$，即$\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AC}=0$，所以$AB\perp AC$，又$BC = 2AB = 4$，所以$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，且$AC = 2\sqrt{3}$，则$B=\frac{\pi}{3}$，故A正确；对于B，若$P$为$BC$的中点，则$\overrightarrow{PB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{PA}· \overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC})· (-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}^{2}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{BA}|· |\overrightarrow{BC}|\cos B+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}^{2}=-\frac{1}{2}× 2× 4× \frac{1}{2}+\frac{1}{4}× 4^{2}=2$，故B错误；对于C，$\overrightarrow{AC}· \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}· (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}· \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}^{2}=-(\overrightarrow{AB}· \overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}|^{2})＜0$，所以$\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|· |\overrightarrow{BC}|}＜0$，所以$\triangle ABC$为钝角三角形，故C正确；对于D，设$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\lambda\in [0,1]$，则$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{PA}· \overrightarrow{PB}=-\overrightarrow{AP}· \overrightarrow{BP}=-(\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BC})· \lambda\overrightarrow{BC}=-\lambda\overrightarrow{AB}· \overrightarrow{BC}-\lambda^{2}\overrightarrow{BC}^{2}=-\lambda|\overrightarrow{AB}|· |\overrightarrow{BC}|\cos B-\lambda^{2}|\overrightarrow{BC}|^{2}=-4\lambda + 16\lambda^{2}=16(\lambda - \frac{1}{8})^{2}-\frac{1}{4}$，因为$\lambda\in [0,1]$，所以$\overrightarrow{PA}· \overrightarrow{PB}\in [-\frac{1}{4},12]$，故D错误.
高中数学小题.必修第二册RA.颠峰版