《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

26. [2024 全国甲卷文,19]如图，已知 $ AB// CD $，$ CD// EF $，$ AB = DE = EF = CF = 2 $，$ CD = 4 $，$ AD = BC = \sqrt{10} $，$ AE = 2\sqrt{3} $，$ M $ 为 $ CD $ 的中点.
（1）求证：$ EM// $ 平面 $ BCF $；
（2）求点 $ M $ 到平面 $ ADE $ 的距离.

答案：
26.
(1)证明：根据题目条件，需证EM//FC。证明：因为CD//EF，EF = 2，DC = 4，M为CD的中点，所以EF//CM，EF = CM，所以四边形EFCM为平行四边形，所以EM//FC。又因为EM⊄平面BCF，FC⊂平面BCF，所以EM//平面BCF。
(2)解：如图所示，作EO⊥CD交CD于点O，连接AO。由
(1)可知四边形EFCM为平行四边形，可得EM = FC = 2。又DM = DE = 2，所以△DEM为等边三角形，O为DM的中点，所以EO⊥DM，EO = √3。因为AB//CD，AB = MC = 2，所以四边形BAMC为平行四边形，所以AM = BC = AD = √10，所以△ADM为等腰三角形。又O为DM的中点，所以AO⊥DM，所以AO = √(AD² - DO²) = 3。因为EO² + AO² = AE²，所以EO⊥AO，所以OE，OC，OA两两垂直，所以V三棱锥A - DEM = 1/3S△DEM·AO = 1/3×(√3/4)×2²×3 = √3。在△ADE中，由余弦定理得cos∠ADE = (AD² + DE² - AE²)/(2AD·DE) = [(√10)² + 2² - (2√3)²]/(2×√10×2) = 1/(2√10)，所以sin∠ADE = √39/(2√10)，则S△ADE = 1/2AD·DE·sin∠ADE = 1/2×√10×2×√39/(2√10) = √39/2。设点M到平面ADE的距离为d，则V三棱锥M - ADE = V三棱锥A - DEM，即1/3·S△ADE·d = 1/3×√39/2·d = √3，解得d = 6√13/13，即点M到平面ADE的距离为6√13/13。

27. [2022 全国乙卷文,18]如图，在四面体 $ ABCD $ 中，$ AD\perp CD $，$ AD = CD $，$ \angle ADB = \angle BDC $，$ E $ 为 $ AC $ 的中点.
（1）求证：平面 $ BED\perp $ 平面 $ ACD $；
（2）设 $ AB = BD = 2 $，$ \angle ACB = 60° $，点 $ F $ 在 $ BD $ 上，当 $ \triangle AFC $ 的面积最小时，求三棱锥 $ F - ABC $ 的体积.

答案：
27.
(1)证明：由于AD = CD，E是AC的中点，所以AC⊥DE。因为{AD = CD，BD = BD，∠ADB = ∠CDB}，所以△ADB≌△CDB，所以AB = BC，故AC⊥BE。因为DE∩BE = E，DE，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD。
(2)解：连接EF，依题意AB = BD = BC = 2，∠ACB = 60°，则△ABC是等边三角形，所以AC = 2，AE = CE = 1，BE = √3。因为AD = CD，AD⊥CD，所以△ACD是等腰直角三角形，所以DE = 1。DE² + BE² = BD²，所以DE⊥BE。因为AC∩BE = E，AC，BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC。因为△ADB≌△CDB，所以∠FBA = ∠FBC。又{BF = BF，∠FBA = ∠FBC，AB = CB}，所以△FBA≌△FBC，所以AF = CF，所以EF⊥AC。因为S△AFC = 1/2·AC·EF，所以当EF最短时，△AFC的面积最小。过E作EF⊥BD于点F，如图。在Rt△BED中，1/2·BE·DE = 1/2·BD·EF，解得EF = √3/2，所以DF = √[1² - (√3/2)²] = 1/2，BF = 2 - DF = 3/2，所以BF/BD = 3/4。过F作FH⊥BE于点H，则FH//DE，所以FH⊥平面ABC，且FH/DE = BF/BD = 3/4，所以FH = 3/4，所以VF - ABC = 1/3·S△ABC·FH = 1/3×(1/2)×2×√3×3/4 = √3/4。