《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [2025 山东济南一中期中]如图,水平放置的四边形 $ ABCD $的斜二测直观图为矩形 $ A'B'C'D' $,已知 $ A'O' = O'B' = 1,B'C' = 1 $,则四边形 $ ABCD $的周长为10.

答案： 7.10　由题设知，原四边形中$AB = CD = A'B' = C'D' = 2$且$AB// CD$，所以原四边形$ABCD$为平行四边形，而$O'C'=\sqrt{2}$，则原四边形中$OC = 2\sqrt{2}$，故$AD = BC=\sqrt{OC^{2}+OB^{2}} = 3$，所以四边形$ABCD$的周长为$AB + CD + AD + BC = 10$．

8. [2024 江苏泰州期末]日常生活中,较多产品的包装盒呈正四棱柱状,烘焙店的包装盒如图所示,正四棱柱 $ ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $的底面 $ ABCD $是正方形,且 $ AB = 3 $,$ AA_{1} = 1 $.
店员认为在彩绳扎紧的情况下,按照图 1 中 $ H - E - E_{1} - F_{1} - F - G - G_{1} - H_{1} - H $的方向捆扎包装盒会比按照图 2 中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度),则图 1 比图 2 最多节省的彩绳长度为$16 - 8\sqrt{2}$.

答案：
8.$16 - 8\sqrt{2}$　对于题图1，如图，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为$8\sqrt{2}$；
　　　　　
对于题图2，彩绳长度的最小值为$4×(3 + 1)=16$，因为$16＞8\sqrt{2}$，所以图1比图2最多节省的彩绳长度为$16 - 8\sqrt{2}$．

9. [2025 江苏南京期末]一个封闭的正三棱柱容器,内装水若干,水面高度为 3(如图 1,底面处于水平状态).将容器放倒(如图 2,一个侧面处于水平状态),若此时水面与各棱的交点 $ E,F,F_{1},E_{1} $分别为所在棱的中点,则该正三棱柱容器的高为4.

答案： 9.4　设正三棱柱的底面积为$S$，高为$h$，则水的体积$V_{1}=3S$．因为$E$，$F$，$F_{1}$，$E_{1}$分别为所在棱的中点，所以$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{4}S$，$S_{四边形BCFE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEF}=S-\frac{1}{4}S=\frac{3}{4}S$，所以题图2中水的体积为$V_{2}=\frac{3}{4}Sh$．又$V_{1}=V_{2}$，所以$3S=\frac{3}{4}Sh$，解得$h = 4$，所以该正三棱柱容器的高为4．