《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024四川成都期中]若平面四边形 $ABCD$ 满足 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{0}$，$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})·\overrightarrow{AC}=0$，则该四边形一定是(B)

A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形

答案： 1.B因为$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以四边形ABCD为平行四边形.因为$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})·\overrightarrow{AC}=0$，所以$\overrightarrow{DB}·\overrightarrow{AC}=0$，所以$BD\perp AC$，所以四边形ABCD为菱形.

2. [2025福建三明期末]在 $\triangle ABC$ 中，若 $\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BC}=0$，且 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}·\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\triangle ABC$ 为(C)

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形

答案： 2.C在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BC}=0$，可得$AC\perp BC$，$C = \frac{\pi}{2}$，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}·\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$A=\frac{\pi}{4}$，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。

3. [2025湘豫名校联考]已知 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，设 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $\alpha$，则 $\alpha =$(C)

A.$240^{\circ}$
B.$225^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 3.C由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OB}=-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$，即$\overrightarrow{OB}^2=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})^2$.因为$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{2}$，所以$1 = 1 + 2\sqrt{2}\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\rangle + 2$，解得$\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\rangle=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$0^{\circ}\leq\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\rangle\leq180^{\circ}$，所以$\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\rangle =135^{\circ}$.

4. [多选题,2024湖南长沙期中]在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{b}$，下列命题是真命题的有(BD)

A.若 $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＜0$ 且 $\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}＜0$，则 $\triangle ABC$ 为锐角三角形
B.若 $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＞0$，则 $\triangle ABC$ 为钝角三角形
C.若 $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}$，则 $\triangle ABC$ 为等边三角形
D.若 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=0$，则 $\triangle ABC$ 为直角三角形

答案： 4.BD对于选项A，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{CA}=-|\overrightarrow{BC}|·|\overrightarrow{CA}|·\cos C＜0$，则$\cos C＞0$，则角$C$为锐角，同理，由$\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}＜0$可知角$A$为锐角，但角$B$不一定是锐角，所以选项A错误；对于选项B，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{CA}=-|\overrightarrow{BC}|·|\overrightarrow{CA}|\cos C＞0$，则$\cos C＜0$，则角$C$为钝角，所以选项B正确；对于选项C，由$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}$，可得$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})·\boldsymbol{b}=0$，即$(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})·\overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})·\overrightarrow{CA}=0$，即$(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})·(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})=|\overrightarrow{BA}|^2-|\overrightarrow{BC}|^2=0$，故$|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{BC}|$，故$\triangle ABC$为等腰三角形，所以选项C错误；对于D选项，$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=0$，即$\boldsymbol{a}^2=(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})^2$，即$\overrightarrow{BC}^2=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA})^2$，即$(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2$，化简可得$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，故$A=\frac{\pi}{2}$，即$\triangle ABC$为直角三角形，所以选项D正确.

5. [多选题,2024广东广州月考]在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = 2$，$AC = 5$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$BC$，$AC$ 边上的两条中线 $AM$，$BN$ 相交于点 $P$，下列结论正确的是(BD)

A.$AM=\sqrt{39}$
B.$BN=\frac{\sqrt{21}}{2}$
C.$\angle MPN$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{21}$
D.$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\boldsymbol{0}$

答案： 5.BD如图所示，由题可知，$M,N$分别为$BC,AC$的中点，则$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，同时平方得$\overrightarrow{AM}^2=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2+2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AC}|^2+2|\overrightarrow{AB}|·|\overrightarrow{AC}|\cos\angle BAC)=\frac{1}{4}(4 + 25 + 2×2×5×\frac{1}{2})=\frac{39}{4}$，则$|\overrightarrow{AM}|=\frac{\sqrt{39}}{2}$，故A错误；又$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}$，同时平方得$\overrightarrow{BN}^2=(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB})^2=\overrightarrow{AN}^2+\overrightarrow{AB}^2-2\overrightarrow{AN}·\overrightarrow{AB}=\frac{25}{4}+4-2×\frac{5}{2}×2×\frac{1}{2}=\frac{21}{4}$，所以$|\overrightarrow{BN}|=\frac{\sqrt{21}}{2}$，故B正确；由题可知，$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}$，所以$\cos\angle MPN = \frac{\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}|·|\overrightarrow{PN}|}=\frac{\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}·\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}}{\frac{1}{3}|\overrightarrow{AM}|·\frac{1}{3}|\overrightarrow{BN}|}=\frac{\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})·(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}{|\overrightarrow{AM}|·|\overrightarrow{BN}|}=\frac{-\overrightarrow{AB}^2+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AM}|·|\overrightarrow{BN}|}=\frac{4\sqrt{91}}{91}$，故C错误；$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{AP}+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-3×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=0$，故D正确.

6. [2022山东济宁期中]已知 $E$，$F$ 分别是四边形 $ABCD$ 的边 $AD$，$BC$ 的中点，且 $AB = 3$，$CD = 2$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle BCD = 75^{\circ}$，则线段 $EF$ 的长为是$\frac{\sqrt{19}}{2}$.

答案： 6.$\frac{\sqrt{19}}{2}$作$AH// CD$，交$BC$于点$H$，则$\angle BHA = \angle BCD = 75^{\circ}$，所以$\angle BAH = 180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$，设$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$表示$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，则$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\rangle=\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH}\rangle=\cos\angle BAH=\frac{1}{2}$，因为$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}$，又$\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{ED}$，$\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{CF}$，所以$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$，所以$|\overrightarrow{EF}|^2=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})^2=\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2+\frac{1}{4}|\overrightarrow{DC}|^2+\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|·|\overrightarrow{DC}|·\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\rangle=\frac{9}{4}+1+\frac{3}{2}=\frac{19}{4}$，所以$|\overrightarrow{EF}|=\frac{\sqrt{19}}{2}$.