《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [多选题,2024 福建福州期末]设 P 是$\triangle OAB$内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(AC)

A.$\overrightarrow {OP}=\frac {2}{5}\overrightarrow {OA}+\frac {1}{5}\overrightarrow {OB}$
B.$\overrightarrow {OP}=\frac {2}{5}\overrightarrow {OA}+\frac {4}{5}\overrightarrow {OB}$
C.$\overrightarrow {OP}=\frac {2}{5}\overrightarrow {OA}+\frac {1}{5}\overrightarrow {AB}$
D.$\overrightarrow {OP}=\frac {2}{5}\overrightarrow {OA}+\frac {4}{5}\overrightarrow {AB}$

答案：
7. AC 对于$A$，如图所示，可知点$P$在$\triangle OAB$内部，故成立；
对于$B$，如图所示，可知点$P$在$\triangle OAB$外部，故不成立；

对于$C$，因为$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AO} + \frac{1}{5}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{5}\overrightarrow{OB}$，如图所示，可知点$P$在$\triangle OAB$内部，故成立；
对于$D$，因为$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AO} + \frac{4}{5}\overrightarrow{OB} = -\frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，如图所示，可知点$P$在$\triangle OAB$外部，故不成立。

8. [2021 湖北襄阳五中月考]正八边形在生活中是很常见的对称图形,如图 1 中的正八边形的 U 盘,图 2 中的正八边形窗花.在图 3 的正八边形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}A_{8}$中,$\overrightarrow {A_{6}A_{4}}+\overrightarrow {A_{7}A_{1}}=\lambda \overrightarrow {A_{7}A_{2}}$,则$\lambda =$$\sqrt{2}$.

答案：
8. $\sqrt{2}$ 如图，连接$A_6A_3$，$A_1A_4$，$A_7A_2$。设$A_6A_3 \cap A_1A_4 = B$，在$A_1A_4$上取一点$C$，使得$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_7A_6}$，则四边形$A_1CA_6A_7$为平行四边形，$A_7A_1 = A_6C$。设$\vert\overrightarrow{BA_3}\vert = m$，则$\vert\overrightarrow{A_6A_3}\vert = \vert\overrightarrow{A_7A_2}\vert = m + \sqrt{2}m + m = (2 + \sqrt{2})m$。由图可知，$A_6A_3 + A_7A_2 = A_7A_2 + A_7C = 2A_7B = 2 × \frac{m + \sqrt{2}m}{(2 + \sqrt{2})m}A_7A_2 = \sqrt{2} · A_7A_2$，故$\lambda = \sqrt{2}$。
　　　　　　

9. [数学文化,2025 江西南昌十九中期中]我国古代数学家赵爽大约在公元 222 年为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图 1).类比“赵爽弦图”，可构造图 2 所示的图形,它是由 3 个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.已知$DF = 4AF$,若$\overrightarrow {AD}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu \overrightarrow {AC}(\lambda,\mu ∈R)$,则$\lambda +\mu$的值为$\frac{30}{31}$.

答案：
9. $\frac{30}{31}$ 如图，连接$AE$。因为$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{FE} = 4\overrightarrow{EC}$，所以$\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} = 4(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AE})$，整理得$\overrightarrow{AE} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AF} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{25}\overrightarrow{AD}$。因为$DE = 4BD$，所以$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AE} + \frac{4}{5}\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AE} + \frac{4}{5}(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB}) = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{25}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{125}\overrightarrow{AD}$，所以$\frac{124}{125}\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{25}\overrightarrow{AC}$，得$\overrightarrow{AD} = \frac{25}{31}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{31}\overrightarrow{AC}$，因为$\overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}(\lambda,\mu \in \mathbf{R})$，所以$\lambda = \frac{25}{31}$，$\mu = \frac{5}{31}$，$\lambda + \mu = \frac{30}{31}$。