《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

5. [多选题，2025. 河北廊坊市期中联考]某保险公司为客户定制了 5 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对 5 个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用样本估计总体，以下四个选项正确的是(AD)

A.30～41 周岁参保人数最多
B.随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C.30 周岁以上的参保人数约占总参保人数的 $20\%$
D.丁险种最受参保人青睐

答案： 5. AD 对于A，由扇形图可知，30～41周岁的参保人数最多，故A正确；对于B，由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B错误；对于C，由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80\%，故C错误；对于D，由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故D正确。

6. [多选题，山东胶州期中]在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 7 天，每天新增疑似病例不超过 5 人”.过去 7 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是(CD)
甲地：总体平均数 $\overline{x}\leq3$，且中位数为 0；
乙地：总体平均数为 2，且标准差 $s\leq2$；
丙地：总体平均数 $\overline{x}\leq3$，且极差 $c\leq2$；
丁地：众数为 1，且极差 $c\leq4$.

A.甲地
B.乙地
C.丙地
D.丁地

答案： 6. CD 甲地：满足总体平均数$\overline{x} \leq 3，$且中位数为0，举例7天的新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，不符合该标志；乙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差$s=\sqrt{\frac{4(1-2)^2+2(2-2)^2+(6-2)^2}{7}}＜2，$但不符合该标志；丙地：由极差$c \leq 2$可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人，那么总体平均数$\overline{x} \leq 3$就不正确，故每天新增疑似病例低于5人，故丙地符合该标志；丁地：因为众数为1，且极差$c \leq 4，$所以新增疑似病例的最大值不大于5，所以丁地符合该标志。

7. [2024 辽宁大连期末]现生产一款产品，其利润 $y$(单位：万元)和投资 $x$(单位：万元)的关系可以近似用函数 $y=a\sqrt{x}+b(x＞0)$ 表示. 若投资 4 万元时，利润为 5 万元；投资 9 万元时，利润为 7 万元. 则当 $y\geq x$ 时，投资 $x$ 的取值范围是(0,3+2\sqrt{2}]. 随机抽取 6 年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为 3 万元，则利润的方差的最大值为8.(单位：万元)

答案： $7. (0,3+2\sqrt{2}] 8 $由题意得$\begin{cases} 2a+b=5, \\ 3a+b=7, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=2, \\ b=1, \end{cases}$所以$y=2\sqrt{x}+1(x＞0).$由$y \geq x，$得$2\sqrt{x}+1 \geq x，$即$2\sqrt{x} \geq x-1.$当0＜x \leq 1时，显然成立；当x＞1时，两边平方得$4x \geq x^2-2x+1，$即$(x-3)^2 \leq 8，$解得$3-2\sqrt{2} \leq x \leq 3+2\sqrt{2}，$所以1＜x \leq 3+2\sqrt{2}，综上0＜x \leq 3+2\sqrt{2}.要不亏本，则$x \in (0,3+2\sqrt{2}]，$所以$y=2\sqrt{x}+1 \in (1,2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+1]，$即$y \in (1,2\sqrt{2}+3]，$所以$y-3 \in (-2,2\sqrt{2}]，$$(y-3)^2 \in (0,8]，$又$\overline{y}=3，$所以方差为$s^2=\frac{1}{6}[(y_1-3)^2+(y_2-3)^2+(y_3-3)^2+(y_4-3)^2+(y_5-3)^2+(y_6-3)^2] \leq \frac{6 × 8}{6}=8，$所以利润的方差的最大值为8万元。

8. [2024 福建南平期末]某校高一年级有男生 200 人，女生 100 人. 为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取一个总样本量为 30 的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得样本中男生身高的样本平均数为 169，方差为 39. 下表是抽取样本中女生的数据：

记抽取的第 $i$ 个女生的身高为 $x_i(i = 1,2,3,·s,10)$，样本平均数 $\overline{x}=160$，方差 $s^2=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}(x_i - \overline{x})^2=\frac{1}{10}(\sum_{i = 1}^{10}x_i^2 - 10\overline{x}^2)=15$.
参考数据：$\sqrt{15}\approx3.9$，$159^2 = 25281$，$169^2 = 28561$.
（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在 $[160,165]$ 内的人数；
（2）如果女生样本数据在 $(\overline{x}-2s,\overline{x}+2s)$ 之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差；
（3）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数 $\mu$ 和标准差 $\sigma$，求 $\mu$，$\sigma$ 的值.

答案： 8. 解：
(1)因为抽取的女生身高在[160,165]之内的频率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}，$所以估计该校高一女生身高在[160,165]内的人数为$\frac{2}{5} × 100=40。$
(2)因为$\overline{x}-2s=152.2，$$\overline{x}+2s=167.8，$所以$(\overline{x}-2s,\overline{x}+2s)=(152.2,167.8)，$故$169 \notin (152.2,167.8)，$则169为离群值.则剔除离群值剩下数据的平均数为$\frac{10 × 160-169}{9}=159，$故剩余女生样本身高的平均数为159。又$\sum_{i=1}^{10}x_i^2=10 × 15^2+10 × 160^2=256150，$则剔除169，剩余女生样本身高的方差为$\frac{1}{9} × (256150-169^2)= \frac{20}{3} × ($实际应为剩余数据计算方差的过程，原文可能有误，按原文识别)。
(3)采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则男生20人，女生10人.男生身高的样本记为$y_1,y_2,·s,y_{20}，$均值$\overline{y}=169，$方差$s_y^2=39，$女生身高的样本为$x_1,x_2,·s,x_{10}，$均值$\overline{x}=160，$方差$s_x^2=15.$则总样本均值$\mu=\frac{10}{30} × 160+\frac{20}{30} × 169=\frac{10 × 160+20 × 169}{30}=166.$又因为$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})= \sum_{i=1}^{10}x_i-10\overline{x}=0，$所以$\sum_{i=1}^{10}2(x_i-\overline{x})(\overline{x}-\mu)=2(\overline{x}-\mu)\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})=0，$同理可得$\sum_{j=1}^{20}(y_j-\overline{y})(\overline{y}-\mu)=0，$故总样本方差$\sigma^2=\frac{1}{30}[\sum_{i=1}^{10}(x_i-\mu)^2+\sum_{j=1}^{20}(y_j-\mu)^2]=\frac{1}{30}[\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x}+\overline{x}-\mu)^2+\sum_{j=1}^{20}(y_j-\overline{y}+\overline{y}-\mu)^2]=\frac{1}{30}[10[s_x^2+(\overline{x}-\mu)^2]+20[s_y^2+(\overline{y}-\mu)^2]]=\frac{1}{30}[15+(160-166)^2]+ \frac{2}{3}[39+(169-166)^2]=49，$所以估计学生总体身高的平均数$\mu=166，$标准差$\sigma=\sqrt{49}=7。$