《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025 山东淄博五中期未]若底面半径为 r，母线长为 l 的圆锥的表面积与直径为 l 的球的表面积相等，则 $\frac{r}{l}=$(B)

A.$\sqrt{5}-1$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

答案： 1.B　因为底面半径为$r$，母线长为$l$的圆锥的表面积与直径为$l$的球的表面积相等，又圆锥的表面积为$\pi rl + \pi r^{2}$，球的表面积为$4 \pi \left(\frac{l}{2}\right)^{2} = \pi l^{2}$，所以$\pi rl + \pi r^{2} = \pi l^{2}$，即$\left(\frac{r}{l}\right)^{2} + \frac{r}{l} - 1 = 0$，解得$\frac{r}{l} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。

2. [2024 河南郑州期中]陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为 1，圆锥与圆柱的高均为 1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积最小为(D)

A.$\frac{4\pi}{3}$
B.$\frac{32\pi}{3}$
C.$\frac{25\pi}{4}$
D.$\frac{125\pi}{48}$

答案： 2.D　依题意，当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料的体积最小，设此时球形材料的半径为$R$，由题意得$(2 - R)^{2} + 1^{2} = R^{2}$，解得$R = \frac{5}{4}$，所以球形材料体积的最小值为$\frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{125 \pi}{48}$。

3. [2025 安徽宿州示范高中期中]已知圆锥的表面积为 $3\pi$，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为(C)

A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$

答案： 3.C　设圆锥的底面半径为$r$，圆锥的母线长为$l$，由题意知$\pi l = 2 \pi r$，解得$l = 2r$。又因为表面积为$S = \pi r^{2} + \pi r· 2r = 3 \pi r^{2} = 3 \pi$，所以$r^{2} = 1$，解得$r = 1$，所以圆锥的母线长为$l = 2r = 2$。

4. [2025 江苏泰州期末]已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大的球的体积为 $36\pi$，则该圆锥的侧面积为(C)

A.$36\pi$
B.$45\pi$
C.$54\pi$
D.$63\pi$

答案：
4.C　由题意，圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大的球的体积为$36 \pi$，可设圆锥底面半径为$r$，圆锥高为$h$，底面直径与母线长相等，则母线长$l = 2r$，再设圆锥内部所能容纳的最大的球的半径为$R$，根据勾股定理，$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{(2r)^{2} - r^{2}} = \sqrt{3}r$，如图，作出圆锥的轴截面，此时圆锥的轴截面是一个等边三角形，其内部的最大的圆是该等边三角形的内切圆，根据轴截面的相似三角形关系得$\frac{R}{h - R} = \frac{r}{l}$，即$\frac{R}{\sqrt{3}r - R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$，$2R = \sqrt{3}r - R$，$r = \sqrt{3}R$。已知球的体积为$36 \pi$，则$\frac{4}{3} \pi R^{3} = 36 \pi$，解得$R^{3} = 27$，即$R = 3$，所以$r = \sqrt{3}R = 3 \sqrt{3}$，$l = 2r = 6 \sqrt{3}$。根据圆锥的侧面积公式，得该圆锥的侧面积为$\pi rl = \pi × 3 \sqrt{3} × 6 \sqrt{3} = 54 \pi$。
　　　　　　　　

5. [2024 福建莆田期中]已知等腰梯形 $ABCD$，$AB = 2$，$CD = 6$，圆 $O$为梯形 $ABCD$ 的内切圆，并与 $AB$，$CD$ 分别切于点 $E$，$F$，如图所示.以 $EF$ 所在直线为轴，梯形 $ABCD$ 和圆 $O$ 分别旋转一周形成的曲面围成的几何体的体积分别为 $V_1$，$V_2$，则 $\frac{V_1}{V_2}$ 的值为(C)


A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{13\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{13}{6}$
D.$\frac{13\sqrt{3}}{6}$

答案： 5.C　梯形$ABCD$旋转一周形成圆台，且圆台的上底面半径$r_{1} = 1$，下底面半径$r_{2} = 3$，由圆$O$和梯形$ABCD$相切，可得$AD = r_{1} + r_{2} = 1 + 3 = 4$，所以圆台的高$h = \sqrt{AD^{2} - (r_{2} - r_{1})^{2}} = 2 \sqrt{3}$，圆$O$的半径$r = \frac{h}{2} = \sqrt{3}$，所以$V_{1} = \frac{\pi}{3} h (r^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} · r_{2}) = \frac{26 \sqrt{3} \pi}{3}$，$V_{2} = \frac{4 \pi}{3} r^{3} = 4 \sqrt{3} \pi$，所以$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{13}{6}$。