《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

9. [海南三模改编]某校的 3 000 名高三学生参加了天一大联考,为了分析此次联考数学学科的情况,现随机从中抽取 15 名学生的数学成绩(满分:150 分)如下:
81 90 93 105 106 108 110 113 116 118 122 124 126 133 135
并将成绩低于 90 分的称为“不及格”,不低于 120 分的称为“优秀”,其余的称为“良好”.
(1) 估算此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩.
(2) 估算此次联考该校高三学生数学成绩“不及格”和“优秀”的人数各是多少.
(3) 在国家扶贫政策的倡导下,该地教育部门提出了教育扶贫活动,要求对此次数学成绩“不及格”的学生分两期进行学业辅导:一期由优秀学生进行一对一帮扶辅导,二期由老师进行集中辅导. 根据实践总结,优秀学生进行一对一辅导的转化率为 20%,老师集中辅导的转化率为 30%,试估算经过两期辅导后,该校高三学生中数学成绩仍然不及格的人数.
注:转化率=$\frac{辅导前不及格人数 - 辅导后不及格人数}{辅导前不及格人数}× 100\%$.

答案： 9. 解：
(1)因为抽取的15名学生的数学学科的平均成绩为$\frac {1}{15}×[1+0+3+5+6+8+0+3+6+8+2+4+6+3+5+(8+2×9+3×10+4×11+3×12+2×13)×10]$=112.所以依此估计此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩为112分.
(2)依题意知，随机抽取的15人中，不及格的人数为1，优秀的人数为5.所以不及格率为$\frac {1}{15}$，优秀率为$\frac {1}{3}$.所以估计在此次联考中该校高三学生数学成绩不及格的人数为$3000×\frac {1}{15}=200$，优秀的人数为$3000×\frac {1}{3}=1000$.
(3)由
(2)知，不及格人数为200.设一期辅导后不及格人数为$x$，则$\frac {200-x}{200}=\frac {20}{100}$，解得$x=160$.设二期辅导后不及格人数为$y$，则$\frac {160-y}{160}=\frac {30}{100}$，解得$y=112$.所以估计经过两次辅导后，该校高三学生中数学成绩仍然不及格的人数为112.