《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024 江苏常州中学期末]下列四个命题：①∠AOB 所在平面外一点 P 到角的两边距离相等，若点 P 在平面 AOB 上的射影 H 在∠AOB 的内部，则点 H 在∠AOB 的平分线上；②P 是△ABC 所在平面外一点，点 P 到△ABC 三个顶点的距离相等，则点 P 在平面 ABC 上的射影 O 是△ABC 的外心；③P 是△ABC 所在平面外一点，点 P 到△ABC 三边的距离相等，则点 P 在平面 ABC 上的射影 O 是△ABC 的内心；④P 是△ABC 所在平面外一点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA=PB=PC，则点 P 在平面 ABC 上的射影 O 是△ABC 的中心。其中，正确命题的个数是(D)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
1.D对于①,如图,由题得PD⊥AO,PC⊥BO,PD = PC,因为PH⊥平面AOB,所以DH = HC,因为OA⊥PH,OA⊥PD,PH∩PD = P,PH,PD⊂平面PDH,所以OA⊥平面PDH,又DH⊂平面PDH,所以OA⊥DH,同理CH⊥OB,所以点H在∠AOB的平分线上，所以①正确;

对于②，如图所示，PO⊥平面ABC,PA = PB = PC,所以OA = OB = OC,即O是△ABC的外心,所以②正确;

对于③,如图所示，由题得PD⊥AC,PE⊥BC,PD = PE,同①方法可证点O在∠ACB的平分线上，同理可证点O在∠ABC的平分线上，所以点O是△ABC的内心，所以③正确;

对于④,如图所示，PA,PB,PC两两垂直，且PA = PB = PC,所以AB = AC = BC,因为PB⊥PA,PB⊥PC,PA∩PC = P,PA,PC⊂平面PAC,所以PB⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以PB⊥AC,设D是AC的中点，所以AC⊥PD,又PB⊥AC,PD∩PB = P,PD,PB⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,又BD⊂平面PBD,所以AC⊥BD,同理AB⊥CF,所以点O是△ABC的垂心，又AB = AC = BC,所以点O是△ABC的中心,所以④正确.

2. [2025 湖南临澧一中期中]如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，以下四个说法错误的是(A)

A.GH 与 EF 平行
B.BD 与 MN 为异面直线
C.GH 与 MN 成 60°角
D.DE 与 MN 垂直

答案：
2.A　如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，故A符合题意;BD与MN为异面直线，故B不符合题意;易知GH//AD,MN//AF，∠DAF = 60°,所以∠GHM = 60°,所以GH与MN成60°角，故C不符合题意;对于D,连接AG,FG,易知AG⊥DE,FG⊥DE,又AG∩FG = G,AG,FG⊂平面AFG,所以DE⊥平面AFG,又AF⊂平面AFG，所以DE⊥AF，又MN//AF,所以DE与MN垂直，故D不符合题意.

3. [2025 重庆长寿月考]如图，两条异面直线 a，b 所成的角为 60°，在直线 a，b 上分别取点 A'，E 和点 A，F，使 AA'⊥b，且 AA'⊥a。已知 A'E=3，AF=4，EF=7，则线段 AA'的长为(C)

A.2√{3}
B.4
C.6 或 2√{3}
D.4 或 2√{3}

答案：
3.C　如图，过点A作直线l，使得l//a,在直线l上取AO = A'E,连接OE,OF.因为a//l,且AA'⊥a,所以AA'⊥l,因为AA'⊥b,l∩b = A,设l,b⊂α,所以AA'⊥α.因为A'E//AO,且A'E = AO,所以四边形A'AOE为平行四边形，所以AA'//OE,AA' = OE,则OE⊥α,由图可知，OF⊂α,则OE⊥OF.因为异面直线a,b所成的角为60°,且l//a,所以∠OAF = 60°或120°.当∠OAF = 60°时，在△OFA中,由余弦定理,得OF² = OA² + AF² - 2·OA·AF·cos∠OAF,则OF = $\sqrt{13}$,在Rt△EOF中，由勾股定理,得OE² + OF² = EF²,解得AA' = OE = 6;当∠OAF = 120°时，在△OFA中，由余弦定理，得OF² = OA² + AF² - 2·OA·AF·cos∠OAF,则OF = $\sqrt{37}$,在Rt△EOF中，由勾股定理，得OE² + OF² = EF²,解得AA' = OE = 2$\sqrt{3}$.

4. [多选题，2025 山东烟台月考]如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 DD₁，DB 的中点，则下列选项正确的是(ABD)

A.EF//平面 ABC₁D₁
B.EF⊥B₁C
C.EF 与 AD₁所成的角为 60°
D.EF 与平面 BB₁C₁C 所成角的正弦值为√{3}/3

答案：
4.ABD　对于A,连接BD₁,在△DD₁B中,E,F分别为D₁D,DB的中点,则EF//D₁B,又D₁B⊂平面ABCD₁，EF⊄平面ABCD₁,所以EF//平面ABCD₁,故A正确;对于B,因为AB⊥平面BCC₁B₁,B₁C⊂平面BCC₁B₁,所以B₁C⊥AB,又B₁C⊥BC₁,AB⊂平面ABCD₁,B₁C⊂平面ABCD₁,AB∩BC₁ = B,所以B₁C⊥平面ABCD₁,又因为BD₁⊂平面ABCD₁,所以B₁C⊥BD₁,而EF//BD₁,所以EF⊥B₁C,故B正确;对于C,由EF//BD₁,得EF与AD₁所成的角为∠AD₁B或其补角,易知AB⊥AD₁,在Rt△BAD₁中,AB = 2,AD₁ = 2$\sqrt{2}$,所以tan∠AD₁B = $\frac{2}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≠ $\sqrt{3}$,所以EF与AD₁所成角不为60°,故C错误;对于D,因为EF//BD₁，且D₁C⊥平面BB₁C₁C,所以∠D₁BC₁即为EF与平面BB₁C₁C所成的角,易知D₁C⊥B₁C₁,在Rt△D₁C₁B中，D₁C₁ = 2,BC₁ = 2$\sqrt{2}$,BD₁ = 2$\sqrt{3}$,所以sin∠D₁BC₁ = $\frac{2}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,故D正确.