《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025江苏南京期末]如图，在$\triangle ABC$中，点$O$满足$\overrightarrow {CO}=\overrightarrow {OB}$，过点$O$的直线分别交直线$AB$，$AC$于不同的两点$E$，$F$，设$\overrightarrow {AB}=x\overrightarrow {AE}$，$\overrightarrow {AC}=y\overrightarrow {AF}$，则$x+y=$(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1. B 根据$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}$，化简得$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，结合$\overrightarrow{AB}=x\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AC}=y\overrightarrow{AF}$，可得$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}x\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}y\overrightarrow{AF}$，因为$E$，$O$，$F$三点共线，所以$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=1$，化简得$x+y=2$.

2. [2022上海中学期末]若不共线的非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{b}|$，则(C)

A.$|2\boldsymbol{a}|＞|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$
B.$|2\boldsymbol{a}|＜|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$
C.$|2\boldsymbol{b}|＞| \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|$
D.$|2\boldsymbol{b}|＜| \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|$

答案：
2. C 由非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{b}|$，当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线时，可考虑构造等腰三角形，如图1所示，$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.在图1中，$\overrightarrow{CA}=2\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CB}=2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，不能比较$|2\boldsymbol{a}|$与$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$的大小.在图2中，由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{b}|$，得$OB=AB=BD$，所以$\triangle OAD$为$\angle AOD=90^{\circ}$的直角三角形.易知$\overrightarrow{AD}=2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$，由三角形中大角对大边，得$|2\boldsymbol{b}|＞|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|$.
　　　　 　

3. [2024浙江杭州期末]已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$均为单位向量，则“$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=3$”是“$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3. A 平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$均为单位向量，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=3$，当且仅当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$-\boldsymbol{c}$同向共线时，取等号，则当$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=3$时，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线.反之，当$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线并且方向相反时，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=1$，所以$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=3$是$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线的充分不必要条件.

4. [逻辑推理，2025重庆大一联盟联考]已知在直角梯形$ABCD$中，$A=90^{\circ}$，$AB// CD$，且$CD=2$，$AB=3$，$P$是$\triangle BCD$内(含边界)任意一点，设$\overrightarrow {AP}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu \overrightarrow {AD}(\lambda,\mu \in \mathbf{R})$，则$\lambda +\mu$的取值范围是(C)

A.$\left[1,\dfrac {5}{2}\right]$
B.$\left[\dfrac {3}{2},\dfrac {5}{2}\right]$
C.$\left[1,\dfrac {5}{3}\right]$
D.$\left[\dfrac {3}{2},\dfrac {5}{3}\right]$

答案：
4. C 如图，由题意可得，当点$P$在线段$BD$上时，$\lambda+\mu$最小，最小值为$1$；当点$P$不在线段$BD$上时，过点$P$作$BD$的平行线，随着平行线靠近点$C$，$\lambda+\mu$逐渐增大，当平行线过点$C$，即点$P$与点$C$重合时，$\lambda+\mu$最大，此时$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，故$\lambda+\mu$的最大值为$\frac{5}{3}$.故$\lambda+\mu$的取值范围是$[1,\frac{5}{3}]$.
　　　　

5. [多选题，2025广东仲元中学期中]已知$P$是边长为$1$的正六边形$ABCDEF$内一点(含边界)，且$\overrightarrow {AP}=\overrightarrow {AB}+\lambda \overrightarrow {AF}$，$\lambda \in \mathbf{R}$，则下列结论正确的是(AC)

A.$\triangle PCD$的面积为定值
B.存在$\lambda$，使得$|\overrightarrow {PC}|＞|\overrightarrow {PA}|$
C.$\angle CPD$的取值范围是$\left[\dfrac {\pi }{6},\dfrac {\pi }{3}\right]$
D.$|\overrightarrow {PC}|$的取值范围是$[1,\sqrt {3}]$

答案：
5. AC 如图，由$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AF}$，可得$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AF}$，即$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{AF}$，可得$\overrightarrow{BP}//\overrightarrow{AF}$，因此，点$P$在正六边形$ABCDEF$的对角线$BE$上运动.对于A，因为$BE// CD$，即点$P$到$CD$的距离$d$为定值，所以$\triangle PCD$的面积$S=\frac{1}{2}CD· d$为定值，故A正确；对于B，因为正六边形$ABCDEF$关于直线$BE$对称，所以不论点$P$在何处，总有$|PC|=|PA|$，即不存在$\lambda$，使得$|PC|＞|PA|$，故B错误；对于C，根据图形的对称性可知，当$P$为$BE$的中点时，$\angle CPD$取得最大值$\frac{\pi}{3}$，当点$P$与点$B$或点$E$重合时，$\angle CPD$取得最小值$\frac{\pi}{6}$，故$\angle CPD$的取值范围是$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$，故C正确；对于D，因为正六边形的边长为$1$，所以平行线$BE$，$CD$之间的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当点$P$与点$C$在$BE$上的射影重合时，$|PC|$取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可见$|PC|$的取值范围不是$[1,\sqrt{3}]$，故D错误.
　　　　　

6. [多选题，2024海南省海口期中]数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感.已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是(ACD)

A.$\overrightarrow {GH}=\left(\dfrac {2\sqrt {3}}{3}+1\right)\overrightarrow {BD}$
B.$\overrightarrow {BE}=\overrightarrow {BD}+\dfrac {\sqrt {3}}{2}\overrightarrow {CF}$
C.$\overrightarrow {GB}=\dfrac {\sqrt {3}}{3}\overrightarrow {BD}-\dfrac {1}{2}\overrightarrow {CF}$
D.$\overrightarrow {IC}=\dfrac {3+\sqrt {3}}{6}\overrightarrow {BD}+\dfrac {\sqrt {3}-1}{4}\overrightarrow {CF}$

答案： 6. ACD 对于A，由题知$\frac{BC}{BD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，故$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EH}=2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BD}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1)\overrightarrow{BD}$，故A正确；对于B，由题知$CF=2DE$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}$，故B错误；对于C，$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{BD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}$，故C正确；对于D，因为$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}-\frac{1}{4}\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{IB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{BF}=\frac{\sqrt{3}}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF})=\frac{\sqrt{3}}{6}\overrightarrow{BD}+\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{CF}$，所以$\overrightarrow{IC}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}\overrightarrow{BD}+\frac{\sqrt{3}-1}{4}\overrightarrow{CF}$，故D正确.

7. [2024江苏徐州一中期中]如图所示，在中心为$O$的正八边形$A_{1}A_{2}·s A_{7}A_{8}$中，$\boldsymbol{a}_{i}=\overrightarrow {A_{i}A_{i+1}}(i=1,2,·s,7)$，$\boldsymbol{b}_{j}=\overrightarrow {OA_{j}}(j=1,2,·s,8)$，则$\boldsymbol{a}_{2}+\boldsymbol{a}_{5}+\boldsymbol{b}_{2}+\boldsymbol{b}_{5}+\boldsymbol{b}_{7}=$$b_6$.(结果用$\boldsymbol{a}_{i}$，$\boldsymbol{b}_{i}$表示)

答案： 7. $b_6$ 由题图可知，$a_2+a_5+b_2+b_5+b_7=\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_5}+\overrightarrow{OA_7}=(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{A_2A_3})+(\overrightarrow{OA_5}+\overrightarrow{A_5A_6})+\overrightarrow{OA_7}=\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_6}+\overrightarrow{OA_7}=\overrightarrow{OA_6}=b_6$.

8. [2025广东实验中学月考]如图，在$\triangle ABC$中，$AD=2DC$，$P$是线段$BD$上的一个动点，$\overrightarrow {AP}=m\overrightarrow {AB}+n\overrightarrow {AC}$，则$\dfrac {1}{m}+\dfrac {1}{n}$最小值是$\frac{5}{2}+\sqrt{6}$.

答案： 8. $\frac{5}{2}+\sqrt{6}$ 因为$AD=2DC$，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AB}+\frac{3n}{2}\overrightarrow{AD}$，因为$B$，$P$，$D$三点共线，所以$m+\frac{3n}{2}=1$，所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})(m+\frac{3n}{2})=1+\frac{3n}{2m}+\frac{m}{n}\geq1+\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{3n}{2m}·\frac{m}{n}}=\frac{5}{2}+\sqrt{6}$，当且仅当$\frac{3n}{2m}=\frac{m}{n}$，即$m=\sqrt{6}-2$，$n=2-\frac{2\sqrt{6}}{3}$时取等号，故$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$最小值是$\frac{5}{2}+\sqrt{6}$.

9. [2022广东茂名期中]如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$是线段$BC$上两个动点，且$\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AE}=x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AC}$，则$x+y=$2，$\dfrac {1}{x}+\dfrac {4}{y}$的最小值为$\frac{9}{2}$.

答案： 9. $2\frac{9}{2}$ 设$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，因为$B$，$D$，$E$，$C$共线，所以$m+n=1$，$\lambda+\mu=1$，因为$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=(m+\lambda)\overrightarrow{AB}+(n+\mu)\overrightarrow{AC}$，所以$x=m+\lambda$，$y=n+\mu$，所以$x+y=m+n+\lambda+\mu=2$，显然$x＞0$，$y＞0$，所以$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{1}{2}(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})=\frac{1}{2}(5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y})\geq\frac{1}{2}(5+2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{4x}{y}})=\frac{9}{2}$，当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{4x}{y}$，即$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{4}{3}$时取等号.