《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [2025重庆巴蜀中学月考]在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = 2$，$AC = 4$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$E$ 为 $\angle BAC$ 的平分线与边 $BC$ 的交点，点 $F$ 在边 $AC$ 上且 $AF = 3$，若 $AE$，$BF$ 相交于点 $M$，则 $\cos\angle EMF$ 的值为$\frac{\sqrt{19}}{38}$.

答案： 7.$\frac{\sqrt{19}}{38}$因为$AB = 2$，$AC = 4$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\overrightarrow{AB}^2 = 4$，$\overrightarrow{AC}^2 = 16$，则$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=2×4\cos120^{\circ}=-4$.因为$AE$为$\angle BAC$的平分线，所以由角平分线定理，可得$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，则$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.因为点$F$在边$AC$上，$AF = 3$，$AC = 4$，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{BF}=(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})·(\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}^2+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}^2=-\frac{2}{3}×4+\frac{1}{6}×(-4)+\frac{1}{4}×16=-\frac{8}{3}-\frac{2}{3}+4=\frac{2}{3}$.又$|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}^2+\frac{1}{9}\overrightarrow{AC}^2+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}=\frac{4}{3}$，$|\overrightarrow{BF}|=\sqrt{\frac{9}{16}\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}=\sqrt{9 + 4 + 6}=\sqrt{19}$，所以$\cos\angle EMF=\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BF}\rangle=\frac{\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{AE}|·|\overrightarrow{BF}|}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}×\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{19}}{38}$.

8. [2023江苏南京期中]如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$，$AC=\sqrt{2}$，$\angle BAC = 45^{\circ}$，则 $|\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}|$ 的最小值为$\sqrt{5}$.
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答案： 8.$\sqrt{5}$以$A$为原点，$AB,AD$所在直线分别为$x$轴、$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设$B(b,0)$，$D(0,d)$，因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，且$AC = \sqrt{2}$，故$\overrightarrow{CD}=(-1,d - 1)$，$\overrightarrow{CB}=(b - 1,-1)$，故$\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}=(b - 3,2d - 3)$，而$\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{CB}=0$，所以$-1×(b - 1)-1×(d - 1)=0$，即$b + d = 2$，所以$|\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(b - 3)^2+(2d - 3)^2}=\sqrt{(2 - d - 3)^2+(2d - 3)^2}=\sqrt{5(d - 1)^2+5}$，当$d = 1$时，$|\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}|_{\min}=\sqrt{5}$.

9. [2025山东寿光一中期末]如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$AD = 2$，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$CD$ 上的点，若 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=t(0\leqslant t\leqslant 1)$，则 $\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AF}$ 的取值范围是$[4,9]$.
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答案： 9.$[4,9]$由题意，在矩形$ABCD$中，以$A$为坐标原点，以$AB,AD$所在直线分别为$x$轴、$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系.由$AB = 3$，$AD = 2$，$\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=t(0\leq t\leq1)$，可得$A(0,0)$，$E(3,2t)$，$F(3 - 3t,2)$，所以$\overrightarrow{AE}=(3,2t)$，$\overrightarrow{AF}=(3 - 3t,2)$，则$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AF}=9 - 9t + 4t = 9 - 5t$，$t\in[0,1]$，所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AF}$的取值范围是$[4,9]$.