《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [2025 安徽淮南二中阶段调研]为了了解某工厂生产的产品情况,从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为 100 的样本,测量它们的尺寸(单位:mm),并将数据分为$[92,94)$,$[94,96)$,$[96,98)$,$[98,100)$,$[100,102)$,$[102,104)$,$[104,106]$七组,其频率分布直方图如图所示.

(1) 求图中的$x$值.
(2) 根据频率分布直方图,用分层随机抽样的方法从$[94,96)$,$[100,102)$两个区间共抽取出 7 个产品,则每个区间分别应抽取多少个产品.
(3) 记产品尺寸在$[98,102)$内为 A 等品,每件可获利 6 元;产品尺寸在$[92,94)$内为不合格品,每件亏损 2 元;其余为合格品,每件可获利 3 元.若该工厂一个月共生产 2 000 件产品,以样本的频率代替总体在各组的频率,若单月利润未能达到 10 000 元,则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.

答案： 7.解：
(1)由(0.02+0.04+0.06+0.09+0.10+x)×2=1，解得x=0.12.
(2)100件样本中，尺寸在[94，96)内的样本数为100×0.04×2=8；尺寸在[100，102)内的样本数为100×0.1×2=20.由分层随机抽样可知，在[94，96)内抽取$7×\frac{8}{8+20}=2($个)产品，在[100，102)内抽取$7×\frac{20}{8+20}=5($个)产品.
(3)由题意可得，这批产品中A等品有2000×(0.09×2+0.10×2)=760(件)，这批产品中不合格品有2000×0.02×2=80(件)，这批产品中合格品有2000-760-80=1160(件)，760×6+1160×3-80×2=7880(元).所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为7880元，因为7880＜10000，所以需要对该工厂设备实施升级改造.