《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

4. [2024 江苏连云港月考]如图，在正方体 $ ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D $ 中.
（1）若 $ E $，$ F $ 分别为 $ A_{1}B $ 和 $ CC_{1} $ 的中点，求证：$ EF // $ 平面 $ ABCD $.
（2）求二面角 $ C_{1} - BD - C $ 的正切值.
（3）如图，$ O $ 为 $ BD $ 的中点，在棱 $ AA_{1} $ 上是否存在一点 $ M $，使平面 $ MBD \perp $ 平面 $ OC_{1}D_{1} $？若存在，求出 $ AM:MA_{1} $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案：
4.解:
(1)如图，取AB的中点N,连接EN,CN.因为$EN// AA_1$,$EN=\frac{1}{2}AA_1$,所以$EN// CF$,$EN = CF$,所以四边形CFEN为平行四边形,则$EF// CN$。又$EF\not\subset$平面ABCD,$CN\subset$平面ABCD,所以$EF//$平面ABCD。
(2)如图，连接CO,$C_1O$,设正方体的棱长为1,由正方体的性质可得$BD\perp CO$,又$CC_1\perp$平面ABCD,$BD\subset$平面ABCD,所以$BD\perp CC_1$,$CO\cap CC_1 = C$,$CO$,$CC_1\subset$平面$COC_1$,所以$BD\perp$平面$COC_1$,又$C_1O\subset$平面$COC_1$,所以$BD\perp C_1O$,则$\angle COC_1$为二面角$C_1 - BD - C$的平面角。在$Rt\triangle COC_1$中,$\tan\angle COC_1=\frac{CC_1}{OC}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$。
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(3)如图所示，
　　　　　　
在棱$AA_1$上存在一点M,使平面$MBD\perp$平面$OCD_1$,连接$A_1C$,$MO$,$C_1M$,$AC$,则O是AC的中点，则$AC=\sqrt{2}$,$AO = CO=\frac{\sqrt{2}}{2}$。因为O是BD的中点，所以$BO = DO$,$BC_1 = DC_1$,所以$C_1O\perp BD$。因为平面$MBD\perp$平面$OCD_1$,平面$MBD\cap$平面$OCD_1 = BD$,$C_1O\subset$平面$OCD_1$,所以$C_1O\perp$平面$MBD$,$MO\subset$平面$MBD$,所以$C_1O\perp MO$,所以$MO^{2}+C_1O^{2}=C_1M^{2}$。又$MO^{2}=AM^{2}+AO^{2}$,$C_1O^{2}=C_1C^{2}+CO^{2}$,$C_1M^{2}=A_1C_1^{2}+MA^{2}$,所以$AM^{2}+AO^{2}+C_1C^{2}+CO^{2}=A_1C_1^{2}+MA^{2}$,则$AM^{2}+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2 + MA_1^{2}$,所以$AM = MA_1$,即$AM:MA_1 = 1$。

5. [2025 广西来宾期中]如图所示，在四棱锥 $ E - ABCD $，底面 $ ABCD $ 是正方形，$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ O $，$ EC \perp $ 平面 $ ABCD $，$ F $ 为 $ BE $ 的中点，$ AB = \sqrt{2}CE $.
（1）求证：$ DE // $ 平面 $ ACF $.
（2）求 $ BE $ 与平面 $ ACE $ 所成角的正弦值.
（3）$ G $ 是线段 $ EO $ 上一点，且满足$\frac{EG}{EO} = \mu$，是否存在实数 $ \mu $，使得 $ CG \perp $ 平面 $ BDE $？若存在，求出 $ \mu $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案：
5.
(1)证明:如图，连接OF，由四边形ABCD是正方形，可知O为BD的中点。又F为BE的中点，所以$OF// DE$。又$OF\subset$平面ACF,$DE\not\subset$平面ACF,所以$DE//$平面ACF;
(2)解:由$EC\perp$底面ABCD,$BD\subset$底面ABCD,所以$EC\perp BD$,由四边形ABCD是正方形，可知$AC\perp BD$,又$AC\cap EC = C$,$AC$,$EC\subset$平面ACE,所以$BD\perp$平面ACE,即$\angle OEB$就是BE与平面ACE所成的角。因为$AB=\sqrt{2}CE$,又$AB=\sqrt{2}OC=\sqrt{2}OB$,所以$EO = AB$,所以$\tan\angle OEB=\frac{OB}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)解:在线段EO上存在点G,使$CG\perp$平面BDE。理由如下:
如图，取EO的中点G，连接CG;
　　　　　　
在四棱锥$E - ABCD$中,$AB=\sqrt{2}CE$,$CO=\frac{\sqrt{2}}{2}AB = CE$,所以$CG\perp EO$,由
(2)可知,$BD\perp$平面ACE,而$BD\subset$平面BDE,所以平面$ACE\perp$平面BDE,且平面$ACE\cap$平面BDE = EO,因为$CG\perp EO$,$CG\subset$平面ACE,所以$CG\perp$平面BDE,故在线段EO上存在点G,使$CG\perp$平面BDE。由G为EO的中点,得$EG:EO = 1:2$,即$\mu$的值为$\frac{1}{2}$。