《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024 江苏淮阴中学期末]在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ AB = 2 $，$ AC = 4 $，点 $ P $ 在 $ \triangle ABC $ 斜边 $ BC $ 的中线 $ AD $ 上，则 $ \overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PC} $ 的取值范围是(A)

A.$[ - 5,0 ]$
B.$[ - 3,0 ]$
C.$[ 0,3 ]$
D.$[ 0,5 ]$

答案：
1.A 如图，由题意可知$AD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$，

因为$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{DB}$，可得$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{DB})=\overrightarrow{PD}^{2}-\overrightarrow{DB}^{2}=\overrightarrow{PD}^{2}-5$。又因为点$P$在$\triangle ABC$斜边$BC$的中线$AD$上，则$PD\in[0,\sqrt{5}]$，所以$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PD}^{2}-5\in[-5,0]$。

2. [2025 陕西汉中中学期末]在平面四边形 $ ABCD $ 中，$ AB \perp BC $，$ AD \perp CD $，$ AB = 2 $，$ CD = 3 $，$ E $，$ F $ 分别为 $ AD $，$ BC $ 的中点，则 $ \overrightarrow{AC} · \overrightarrow{EF} = $(C)

A.$ - 5 $
B.$ - \frac{5}{2} $
C.$ \frac{13}{2} $
D.$ 13 $

答案： 2.C 由题意，$AB\perp BC$，$AD\perp CD$，则$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{CD}=0$。又$E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，则$\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{ED}$，则$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$，所以$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}·\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}·(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}^{2}=\frac{13}{2}$。

3. [2023 浙江宁波九校期末联考]已知在 $ \triangle ABC $ 中，$ P_0 $ 是边 $ AB $ 的中点，且对于边 $ AB $ 上任意一点 $ P $，恒有 $ \overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PC} \geqslant \overrightarrow{P_0B} · \overrightarrow{P_0C} $，则 $ \triangle ABC $ 一定是(A)

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

答案：
3.A 如图，取$BC$的中点$D$，显然$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}=(\frac{\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}{2})^{2}-(\frac{\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}}{2})^{2}=\overrightarrow{PD}^{2}-\overrightarrow{DC}^{2}=|\overrightarrow{PD}|^{2}-|\overrightarrow{DC}|^{2}$，同理$\overrightarrow{P_{0}B}·\overrightarrow{P_{0}C}=|\overrightarrow{P_{0}D}|^{2}-|\overrightarrow{DC}|^{2}$。因为$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}\geq\overrightarrow{P_{0}B}·\overrightarrow{P_{0}C}$，所以$|\overrightarrow{PD}|^{2}-|\overrightarrow{DC}|^{2}\geq|\overrightarrow{P_{0}D}|^{2}-|\overrightarrow{DC}|^{2}$，即$|\overrightarrow{PD}|^{2}\geq|\overrightarrow{P_{0}D}|^{2}$，$|\overrightarrow{PD}|\geq|\overrightarrow{P_{0}D}|$，所以$P_{0}D\perp BC$。因为$D$，$P_{0}$分别是$BC$，$AB$的中点，所以$AC// P_{0}D$，所以$AC\perp BC$，所以$\triangle ABC$一定是直角三角形。

4. [2025 重庆育才中学期末]已知正三角形 $ ABC $ 的边长为 $ 2 $，点 $ D $，$ E $ 都在边 $ BC $ 上，且 $ \overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} $，$ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} $，若 $ F $ 为线段 $ AE $ 上一点，$ M $ 为线段 $ BF $ 的中点，则 $ \overrightarrow{BF} · \overrightarrow{DM} $ 的最小值为(D)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 0 $
C.$ - \frac{3}{8} $
D.$ - \frac{5}{13} $

答案：
4.D 因为$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，所以$D$为$BC$的中点，又$\overrightarrow{BE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$，所以$E$为$DC$的中点。又正三角形$ABC$的边长为$2$，所以$DB=1$。依题意知，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DB})$，所以$\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DF}^{2}-\overrightarrow{DB}^{2})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{DF}|^{2}-1)$。所以当$DF\perp AE$时，$|\overrightarrow{DF}|^{2}$取得最小值，如图，此时点$F$在点$F_{1}$的位置，连接$AD$，则$AD\perp BC$，又$AD=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，$DE=\frac{1}{2}$，所以$AE=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，所以$DF_{1}=\frac{AD· DE}{AE}=\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$，所以$(\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{DM})_{\min}=\frac{1}{2}×[(\frac{\sqrt{39}}{13})^{2}-1]=-\frac{5}{13}$。

5. [多选题，2024 河北邯郸期中]如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AB = 3 $，$ AC = 4 $，点 $ D $，$ E $ 为边 $ BC $ 上两个动点，且满足 $ DE = 2 $，则下列选项正确的是(BC)


A.$ \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} $ 的最小值为 $ \frac{49}{25} $
B.$ \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} $ 的最小值为 $ \frac{119}{25} $
C.$ \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} $ 的最大值为 $ \frac{48}{5} $
D.当 $ \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} $ 取得最大值时，点 $ D $ 与点 $ B $ 重合

答案：
5.BC 如图，取$DE$的中点$M$，则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME}$，则$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD})·(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME})=\overrightarrow{AM}^{2}-\overrightarrow{MD}^{2}=\overrightarrow{AM}^{2}-1$。易知$AM$的最小值为点$A$到$BC$的距离，即$AM$的最小值为$\frac{12}{5}$，即$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AE}$的最小值为$\frac{119}{25}$，故B正确，A错误；当点$E$与点$C$重合时，$AM$取得最大值，即$AM^{2}=AB^{2}+BM^{2}-2AB· BM·\cos B=9 + 16 - 2×3×4×\frac{3}{5}=\frac{53}{5}$，故$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AE}$的最大值为$\frac{48}{5}$，故C正确，D错误。