《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

3. [2025 天津和平期末]如图,在平行六面体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,$ BB_1 = BC $,$ BC_1 \perp C_1D $. 求证:
(1) $ BC // $ 平面 $ B_1C_1D $;
(2) 平面 $ BCC_1B_1 \perp $ 平面 $ B_1CD $.

答案： 证明:
(1)因为平行六面体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，BC//B₁C₁，又B₁C₁⊂平面B₁C₁D，BC⊄平面B₁C₁D，所以BC//平面B₁C₁D。
(2)因为平行六面体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，BB₁ = BC，所以四边形BCC₁B₁是菱形，BC₁⊥B₁C₁。因为BC₁⊥C₁D₁，C₁D₁//CD，所以BC₁⊥CD。又因为B₁C₁∩CD = C，B₁C₁，CD⊂平面B₁C₁D，所以BC₁⊥平面B₁C₁D。因为BC₁⊂平面BCC₁B₁，所以平面BCC₁B₁⊥平面B₁C₁D。

4. [2025 江苏南京期末]如图所示,$ AB $ 为圆锥 $ PO $ 底面的直径,$ C $ 为圆 $ O $ 上异于 $ A $,$ B $ 的一点,$ D $,$ F $ 分别为 $ AC $,$ PA $ 的中点,连接 $ DO $ 并延长交圆 $ O $ 于点 $ E $.
(1) 求证:$ AC \perp $ 平面 $ PDE $;
(2) 求证:$ EF // $ 平面 $ PBC $;
(3) 设平面 $ PBC $ 与平面 $ PDE $ 的交线为 $ l $,求证:$ l // DO $.

答案：
证明:
(1)因为PO⊥圆面O，AC⊂圆面O，所以PO⊥AC。又因为AB为圆O的直径，所以∠ACB = 90°，即AC⊥BC。因为O，D分别为AB，AC的中点，所以DO//BC，所以AC⊥OD，又因为OD∩PO = O，且OD，PO⊂平面PDE，所以AC⊥平面PDE。
　　　　　　　
(2)如图，连接DF，因为D，F分别为AC，PA的中点，所以DF//PC，DE//BC。又因为DF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DF//平面PBC，同理可证得DE//平面PBC，而DF∩DE = D，且DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF//平面PBC。又因为EF⊂平面DEF，所以EF//平面PBC。
(3)由
(2)可得DO//平面PBC，又DO⊂平面PDE，平面PDE∩平面PBC = l，所以l//DO。