《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [多选题，2024 福建福州期中]如图，$ \triangle ABC $ 是边长为 $ 2\sqrt{3} $ 的正三角形，$ P $ 是以 $ C $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆上任意一点，则 $ \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} $ 的取值可能是(BCD)


A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 6 $
D.$ 13 $

答案：
6.BCD 如图，在正三角形$ABC$中，取$AB$的中点$O$，连接$PO$，$CO$，$CO=2\sqrt{3}\sin60^{\circ}=3$，则$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA})·(\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{PO}^{2}-\overrightarrow{OA}^{2}=\overrightarrow{PO}^{2}-3$。由$P$是以$C$为圆心，$1$为半径的圆上任意一点，得$2\leq PO\leq4$，所以$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}\in[1,13]$，$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}$的取值可能是$1$，$6$，$13$，B，C，D正确，A错误。

7. [2024 辽宁抚顺月考]太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为 $ 2 $ 的大圆 $ O $ 和两个对称的半圆弧组成的，线段 $ MN $ 过点 $ O $ 且两端点 $ M $，$ N $ 分别在两个半圆弧上，$ P $ 是大圆上一动点，则 $ \overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PN} $ 的最小值为0.

答案：
7.0 如图，连接$PO$，可得$\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PN}=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM})·(\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{OM})=\overrightarrow{PO}^{2}-\overrightarrow{OM}^{2}=4-\overrightarrow{OM}^{2}$，显然当$\overrightarrow{OM}^{2}$最大，即$|\overrightarrow{OM}|$取得最大值$2$时，$\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PN}$取得最小值为$0$。

8. [2025 江苏南京期末]已知 $ |\overrightarrow{AB}| = 6 $，平面上动点 $ P $ 满足 $ |\overrightarrow{AP} - t\overrightarrow{AB}| \geqslant 4 $ 对任意 $ t \in \mathbf{R} $ 恒成立，则 $ \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} $ 的最小值为7，此时 $ |\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}| = $8.

答案：
8.7 8 如图1，设直线$AB$上有一动点$C$，满足$t\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$，则$|\overrightarrow{AP}-t\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CP}|\geq4$，由此可得点$P$到直线$AB$的距离为$4$。如图2，取$AB$的中点$D$，由极化恒等式，可得$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA})·(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB})=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA})·(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{PD}^{2}-\overrightarrow{DA}^{2}\geq4^{2}-3^{2}=7$，此时$PD\perp AB$，则$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|=|2\overrightarrow{PD}|=8$。

9. [2023 广东深圳期末]已知在四边形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ CD $ 的中点，$ AB = 2 $，$ CD = 2\sqrt{2} $，$ EF = 1 $，点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} = 0 $，则 $ \overrightarrow{PC} · \overrightarrow{PD} $ 的最大值为2.

答案： 9.2 因为$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{FC}$，$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{FD}$，又$F$是$CD$的中点，所以$\overrightarrow{FD}=-\overrightarrow{FC}$，所以$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{FC}$，$\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PD}=(\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{FC})·(\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{FC})=\overrightarrow{PF}^{2}-\overrightarrow{FC}^{2}=|\overrightarrow{PF}|^{2}-(\frac{1}{2}CD)^{2}=|\overrightarrow{PF}|^{2}-2$。又$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=0$，所以$PA\perp PB$，又$E$是$AB$的中点，所以$PE=\frac{1}{2}AB=1$。因为$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE}$，所以$\overrightarrow{EF}^{2}=(\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE})^{2}=\overrightarrow{PF}^{2}-2\overrightarrow{PF}·\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PE}^{2}$，即$\overrightarrow{PF}^{2}=2\overrightarrow{PF}·\overrightarrow{PE}$。设$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{PE}$的夹角为$\theta$，$|\overrightarrow{PF}|=x$，则$x^{2}=2×1× x×\cos\theta$，所以$x=2\cos\theta$，所以$\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PD}=x^{2}-2=4\cos^{2}\theta-2$，又$\theta\in[0,\pi]$，故$\cos\theta\in[-1,1]$，所以$\cos^{2}\theta\in[0,1]$，即$\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PD}\in[-2,2]$，即$\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PD}$有最大值$2$。
方法突破求两个向量的数量积有三种方法：①利用定义；②利用向量的坐标运算；③利用数量积的几何意义。具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。