《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [生活生产,2025 新高考卷Ⅰ,6]帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则真风为(A)



A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风

答案：
1.A 如图，视风风速对应向量的坐标为$\boldsymbol{v}_1=(-3,-1)$，船速对应向量的坐标为$\boldsymbol{v}_2=(1,3)$，所以船行风速对应向量的坐标为$-\boldsymbol{v}_2=(-1,-3)$，设真风风速对应向量为$\boldsymbol{v}$，则$\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{v}_1$，所以$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2=(-2,2)$，所以$\vert\boldsymbol{v}\vert=\sqrt{(-2)^2 + 2^2}=2\sqrt{2}\approx2.828\in(1.1,3.3)$，故真风为轻风。

2. [2022 新高考Ⅰ卷,3]在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,BD = 2DA.记$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m},\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}$,则$\overrightarrow{CB}=$(B)

A.$3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}$
B.$-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$
C.$3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}$
D.$2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

答案： 2.B $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AD}=3(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA})$，则$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CD}=-2m + 3n$。

3. [2022 新高考Ⅱ卷,4]已知向量$\boldsymbol{a}=(3,4)$,$\boldsymbol{b}=(1,0)$,$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$,$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle$表示$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{c}$的夹角,$\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$表示$\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$的夹角,若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$,则$t=$(C)

A.$-6$
B.$-5$
C.$5$
D.$6$

答案： 3.C 由已知$\boldsymbol{c}=(3 + t,4)$，$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，故$\frac{9 + 3t + 16}{\vert\boldsymbol{c}\vert·5}=\frac{3 + t}{\vert\boldsymbol{c}\vert·1}$，解得$t = 5$。

4. [2024 新高考Ⅰ卷,3]已知向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$,$\boldsymbol{b}=(2,x)$,若$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$,则$x=$(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 4.D $\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a}=(2,x - 4)$，由$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$，可得$\boldsymbol{b}·(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})=(2,x)·(2,x - 4)=0$，即$4+x^2 - 4x = 0$，解得$x = 2$。

5. [2023 新高考Ⅰ卷,3]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1)$,$\boldsymbol{b}=(1,-1)$.若$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$,则(D)

A.$\lambda+\mu=1$
B.$\lambda+\mu=-1$
C.$\lambda\mu=1$
D.$\lambda\mu=-1$

答案： 5.D 依题意$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})=0$，则$\boldsymbol{a}^2+(\lambda+\mu)\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\lambda\mu\boldsymbol{b}^2=0$，即$2 + 2\lambda\mu=0$，所以$\lambda\mu=-1$。

6. [2023 新高考Ⅱ卷,13]已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$,$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,则$|\boldsymbol{b}|=$$\sqrt{3}$.

答案： 6.$\sqrt{3}$ 由$\begin{cases}\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{3},\\\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=\vert2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert,\end{cases}$平方并整理，得$\begin{cases}\boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2=3,\\\boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0,\end{cases}$所以$\boldsymbol{b}^2=3$，即$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{3}$。

7. [2024 全国甲卷理,9]已知向量$\boldsymbol{a}=(x + 1,x)$,$\boldsymbol{b}=(x,2)$,则(C)

A.“$x = - 3$”是“$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$”的必要条件
B.“$x = - 3$”是“$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$”的必要条件
C.“$x = 0$”是“$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$”的充分条件
D.“$x = - 1 + \sqrt{3}$”是“$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$”的充分条件

答案： 7.C $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充分条件是$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，即$x·(x + 1)+2x = 0$，解得$x = 0$或$x=-3$，故A错误，C正确；$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件为$2(x + 1)=x^2$，解得$x = 1\pm\sqrt{3}$，故B，D错误。

8. [多选题,2021 新高考全国Ⅰ卷,10]已知$O$为坐标原点,点$P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)$,$P_2(\cos\beta,-\sin\beta)$,$P_3(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))$,$A(1,0)$,则(AC)

A.$|\overrightarrow{OP_1}|=|\overrightarrow{OP_2}|$
B.$|\overrightarrow{AP_1}|=|\overrightarrow{AP_2}|$
C.$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}·\overrightarrow{OP_2}$
D.$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}·\overrightarrow{OP_3}$

答案：
8.AC 如图，对于A，$\vert\overrightarrow{OP_1}\vert=\vert\overrightarrow{OP_2}\vert=1$，故A正确；对于B，只有当$\alpha=-\beta$时成立，故B错误；对于C，设$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$表示$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，则$\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OP_3}\rangle=\alpha+\beta$，$\langle\overrightarrow{OP_1},\overrightarrow{OP_2}\rangle=\alpha+\beta$，故C正确；对于D，$\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OP_1}\rangle=\alpha$，$\langle\overrightarrow{OP_2},\overrightarrow{OP_3}\rangle=\alpha + 2\beta$，故D错误。

9. [2022 全国甲卷理,13]设向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$,且$|\boldsymbol{a}| = 1$,$|\boldsymbol{b}| = 3$,则$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·\boldsymbol{b}=$11.

答案： 9.11 设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，即$\cos\theta=\frac{1}{3}$，又$\vert\boldsymbol{a}\vert=1$，$\vert\boldsymbol{b}\vert=3$，所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\vert\boldsymbol{a}\vert·\vert\boldsymbol{b}\vert\cos\theta=1×3×\frac{1}{3}=1$，所以$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\vert\boldsymbol{b}\vert^2=2×1 + 3^2=11$。

10. [2025 天津卷,14]在△ABC 中,D 为 AB 的中点,$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$,则$\overrightarrow{AE}=$$\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$(用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示);若$|\overrightarrow{AE}| = 5$,$AE\perp CB$,则$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CD}=$-15.

答案：
10.$\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-15$ 如图，因为$D$为$AB$的中点，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$。因为$\vert\overrightarrow{AE}\vert=5$，所以$\frac{1}{36}\boldsymbol{a}^2+\frac{2}{9}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\frac{4}{9}\boldsymbol{b}^2=25$ ①。因为$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，且$AE\perp CB$，所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CB}=(\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\frac{1}{6}\boldsymbol{a}^2+\frac{1}{6}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}^2=0$ ②。由①②可得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=180 - 4\boldsymbol{b}^2$，$\boldsymbol{a}^2=16\boldsymbol{b}^2 - 540$，因为$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CD}=(\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b})·(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\frac{1}{12}\boldsymbol{a}^2+\frac{1}{6}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}^2=\frac{1}{12}(16\boldsymbol{b}^2 - 540)+\frac{1}{6}(180 - 4\boldsymbol{b}^2)-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}^2=-15$。

11. [2025 新高考卷Ⅱ,5]在△ABC 中,$BC = 2$,$AC = 1 + \sqrt{3}$,$AB = \sqrt{6}$,则$A=$(A)

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： 11.A 因为$BC = 2$，$AC = 1+\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{6}$，所以由余弦定理得$\cos A=\frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2AC· AB}=\frac{(1+\sqrt{3})^2+6 - 4}{2×(1+\sqrt{3})×\sqrt{6}}=\frac{2(3+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$0^{\circ}＜A＜180^{\circ}$，所以$A = 45^{\circ}$。