《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [新定义,2025广东五校联考]设$\triangle ABC$的外接圆半径为R,内切圆半径为r,且内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,定义$f=\frac {R}{r}$的值为$\triangle ABC$的“径比”.
(1)若$\triangle ABC$为等腰直角三角形,求$\triangle ABC$的径比f;
(2)求证:$f=\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2\sin A\sin B\sin C}$;
(3)若$\cos 2A+\cos 2B=1+\cos 2C$,求f的最值.

答案： 7.
(1)解：由$\triangle ABC$为等腰直角三角形,设直角边长为$a$,则斜边长为$\sqrt{2}a$,所以$\triangle ABC$外接圆的半径为$R=\frac{\sqrt{2}a}{2}$,且$\triangle ABC$的周长为$l = 2a+\sqrt{2}a$,则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}(2a+\sqrt{2}a)r$,可得$r=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$,所以$f=\frac{R}{r}=\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}$.
(2)证明：由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$,得$a = 2R\sin A$,$b = 2R\sin B$,$c = 2R\sin C$,又由$\triangle ABC$得面积为$S=\frac{1}{2}ab\sin C=2R^{2}\sin A\sin B\sin C$,且$\triangle ABC$的周长为$l = 2R(\sin A+\sin B+\sin C)$,因为$S=\frac{1}{2}lr$,即$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=2R^{2}\sin A\sin B\sin C=\frac{1}{2}×2R(\sin A+\sin B+\sin C)· r$,即$2R\sin A\sin B\sin C=(\sin A+\sin B+\sin C)· r$,所以$f=\frac{R}{r}=\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{2\sin A\sin B\sin C}$.
(3)解：由$\cos2A+\cos2B = 1+\cos2C$,可得$2\cos\frac{2A + 2B}{2}\cos\frac{2A - 2B}{2}=2\cos^{2}C$,即$\cos(A + B)\cos(A - B)=\cos^{2}C$,在$\triangle ABC$中,可得$\cos(A + B)=-\cos C$,所以$-\cos C\cos(A - B)=\cos^{2}C$,即$\cos C[\cos C+\cos(A - B)] = 0$,可得$\cos C = 0$或$\cos(A - B)=-\cos C$.当$\cos C = 0$时,由$0 ＜ C ＜ \pi$,可得$C=\frac{\pi}{2}$,即$\triangle ABC$为直角三角形;当$\cos(A - B)=-\cos C$时,即$\cos(A - B)=\cos(A + B)$,即$\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos A\cos B - \sin A\sin B$,可得$2\sin A\sin B = 0$,因为$0 ＜ A,B ＜ \pi$,所以$2\sin A\sin B＞0$,不符合题意(舍去),可得$\sin B=\cos A$,由
(2)知$f=\frac{R}{r}=\frac{\sin A+\sin B+1}{2\sin A\sin B}=\frac{\sin A+\cos A+1}{2\sin A\cos A}$,设$t=\sin A+\cos A=\sqrt{2}\sin(A+\frac{\pi}{4})$,则$2\sin A\cos A=t^{2}-1$,因为$0 ＜ A＜\frac{\pi}{2}$,可得$\frac{\pi}{4}＜A+\frac{\pi}{4}＜\frac{3\pi}{4}$,可得$t\in(1,\sqrt{2}]$,所以$g(t)=\frac{t + 1}{t^{2}-1}=\frac{1}{t - 1}$在区间$(1,\sqrt{2}]$上单调递减,可得$g(t)_{\min}=g(\sqrt{2})=\sqrt{2}+1$,且当$t\to1$时,$g(t)\to+\infty$,所以$f$的最小值为$g(t)_{\min}=\sqrt{2}+1$,无最大值.

8. [2024河北衡水中学月考]已知函数$f(x)=\begin{cases}|2^{x}-1|,x＜2,\\ \frac {3}{x-1},x＞2,\end{cases}$ 若方程$[f(x)]^{2}-(a+1)f(x)+a=0$有五个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )

A.$(0,1)$
B.$(0,2)$
C.$(0,3)$
D.$(1,3)$

答案：
8.A 由$[f(x)]^{2}-(a + 1)f(x)+a = 0$得$f(x)-a = 0$或$f(x)-1 = 0$,即$f(x)=a$或$f(x)=1$.作出函数$f(x)$的图象,如图所示.

由图象可知方程$f(x)=1$有两个不同的实数根,则当$[f(x)]^{2}-(a + 1)f(x)+a = 0$有五个实数根时,方程$f(x)-a = 0$有三个不同的实数根,即$y = f(x)$和$y = a$的图象有$3$个不同的交点,结合图象知$0 ＜ a＜1$,即实数$a$的取值范围是$(0,1)$.

9. [多选题,2024陕西西安期末]设函数$f(x)=\sin (\omega x-\frac {π}{3})+3(\omega ∈N^{*})$在$[\frac {5π}{12},\frac {5π}{6}]$上单调递减,则下述结论正确的是(BC)

A.$f(x)$的最小正周期为$2π$
B.$f(x)$的图象关于直线$x=-\frac {π}{12}$对称
C.$f(x)$在$[\frac {π}{2},π]$上的最小值为2
D.$f(x)$的图象关于点$(\frac {2π}{3},0)$对称

答案： 9.BC 因为函数$f(x)=\sin(\omega x-\frac{\pi}{3})+3(\omega\in\mathbf{N}^{*})$在$[\frac{5\pi}{12},\frac{5\pi}{6}]$上单调递减,所以$\frac{1}{2}T\geq\frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}$,即$\omega\leq\frac{12}{5}$,所以$\omega = 1$或$2$.当$\omega = 1$时,$f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{3})+3$在$[\frac{5\pi}{12},\frac{5\pi}{6}]$上单调递增,与已知矛盾,不成立;当$\omega = 2$时,$f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3})+3$在$[\frac{5\pi}{12},\frac{5\pi}{6}]$上单调递减,满足条件.此时函数的最小正周期为$\pi$,故A错误.当$x = -\frac{\pi}{12}$时,$2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}$,故B正确.当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$时,$2x-\frac{\pi}{3}\in[\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}]$,故当$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{2}$,即$x=\frac{11\pi}{12}$时,$f(x)_{\min}=2$,故C正确.由于函数$f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3})+3$的图象是由$y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})$的图象向上平移$3$个单位长度得到,所以对称中心的纵坐标为$3$,故D错误.

10. [2024山东日照月考]已知$x＞0,y＞0$,且$x+y=1$,则$\frac {2}{x}+\frac {8x}{y}$的最小值为10.

答案： 10.$10$因为$x + y = 1$,所以$2x + 2y = 2$,所以$\frac{2}{x}+\frac{8x}{y}=\frac{2x + 2y}{x}+\frac{8x}{y}=2+\frac{2y}{x}+\frac{8x}{y}$.又因为$x＞0$,$y＞0$,所以$\frac{2y}{x}＞0$,$\frac{8x}{y}＞0$,由基本不等式得$2+\frac{2y}{x}+\frac{8x}{y}\geq2 + 2\sqrt{\frac{2y}{x}·\frac{8x}{y}} = 10$,当且仅当$\frac{2y}{x}=\frac{8x}{y}$,即$x=\frac{1}{3}$,$y=\frac{2}{3}$时等号成立.