《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [多选题,2025 河北沧州一中等联考]如图,直线 l 过$\triangle ABC$的重心 G(三条中线的交点),且与边 AB,AC 交于点 P,Q 且$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AQ}=\mu\overrightarrow{AC}$,直线 l 将$\triangle ABC$分成两部分分别为$\triangle APQ$和四边形 PQCB,其对应的面积依次记为$S_{\triangle APQ}$和$S_{四边形PQCB}$,则以下结论正确的是 (BC)

A.$\lambda+\mu=\frac{4}{3}$
B.$\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=3$
C.$\frac{S_{四边形PQCB}}{S_{\triangle APQ}}$的最大值为$\frac{5}{4}$
D.$\frac{S_{四边形PQCB}}{S_{\triangle APQ}}$的最大值为$\frac{4}{3}$

答案： 6.BC 因为G是$\triangle ABC$的重心，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\frac{1}{\lambda}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{\mu}\overrightarrow{AQ})=\frac{1}{3\lambda}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{3\mu}\overrightarrow{AQ}$，因为G，P，Q三点共线，所以$\frac{1}{3\lambda}+\frac{1}{3\mu}=1$，则$\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=3$，故B正确，A错误；又由题意可知$\lambda\in(0,1]$，$\mu\in(0,1]$，所以$3=\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}\geq2\sqrt{\frac{1}{\lambda\mu}}$，当且仅当$\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\mu}$，即$\lambda=\mu$时取等号，所以$\lambda\mu\geq\frac{4}{9}$，又因为$\lambda\mu＜1$，所以$\frac{4}{9}\leq\lambda\mu＜1$，因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· AC\sin\angle BAC$，$S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}AP· AQ·\sin\angle BAC$，所以$S_{四边形PQCB}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}(1-\lambda\mu)AB· AC·\sin\angle BAC$，所以$\frac{S_{四边形PQCB}}{S_{\triangle APQ}}=\frac{1-\lambda\mu}{\lambda\mu}=\frac{1}{\lambda\mu}-1\leq\frac{1}{\frac{4}{9}}-1=\frac{5}{4}$，故C正确，D错误.

7. [2023 河南郑州月考]如图 1,小明同学发现家里的地板是由正六边形木质地板组合而成的,便临摹出了家里地板的部分图形,其平面图如图 2 所示,若$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AF}$,则$x + y=$3.

答案：
7.3 连接FC，如下图所示：

易知$\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{AB}$，由平面向量三角形法则可知$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}$，即$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AB}$，所以$x=2$，$y=1$，所以$x+y=3$.

8. [2025 安徽大联考调研]如图,给定两个长度为 1 的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$,它们的夹角为$\frac{5\pi}{6}$,点 C 在点 O 为圆心的圆弧$\overset{\frown}{AB}$上运动,若$\overrightarrow{OC}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$,其中$a,b\in\mathbf{R}$,则 ab 的取值范围是$[0,2+\sqrt{3}]$.

答案： 8.$[0,2+\sqrt{3}]$ 由题意，可得$|\overrightarrow{OC}|=1$，则$(a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB})^2=1$，整理得$a^2|\overrightarrow{OA}|^2+2ab\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}+b^2|\overrightarrow{OB}|^2=1$，由$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，$\angle AOB=\frac{5\pi}{6}$，得$\sqrt{3}ab+1=a^2+b^2$，可得$\sqrt{3}ab+1\geq2ab$，解得$\sqrt{3}-2\leq ab\leq2+\sqrt{3}$，由题图易知$a\geq0$，$b\geq0$，所以$ab\in[0,2+\sqrt{3}]$.

9. [2023 河北保定期末]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“勾股圆方图”,后人称其为“赵爽弦图”. 如图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 已知$HE = 2EB$,M 为线段 AB 的中点,设 P 为中间小正方形 EFGH 内一点(不含边界). 若$\overrightarrow{MP}=\lambda\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MB}$,则$\lambda$的取值范围是$(2,4)$.

答案：
9.$(2,4)$ 如图，过点A作$AK// ME$，分别交EH，EF于点N，K，过点N作$NQ// AB$，交ME的延长线于点Q，过点K作$KL// AB$，交ME的延长线于点L.由$\overrightarrow{MP}=\lambda\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MB}=\lambda\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MA}$可知，点P在线段NK上运动（不含端点）.当点P与点N重合时，$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MA}$，可知$\lambda=2$.当点P与点K重合时，$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MA}=4\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MA}$，可知$\lambda=4$.故$\lambda$的取值范围是$(2,4)$.