《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

6. [多选题，2025 河北秦皇岛月考]如图，圆锥 $SO$ 的底面半径为 1，侧面积为 $3\pi$，$\triangle SAB$ 是圆锥的一个轴截面，$C$ 是底面圆周上异于 $A$，$B$ 的一点，则下列说法正确的是(ABC)

A.$\triangle SAB$ 的面积为 $2\sqrt{2}$
B.圆锥 $SO$ 的侧面展开图的圆心角为 $\frac{2\pi}{3}$
C.由点 $C$ 出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点 $C$ 的细绳长度最小值为 $3\sqrt{3}$
D.若 $AC = \sqrt{2}$，则三棱锥 $O - SAC$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
6.ABC　根据题意可知，圆锥$SO$的底面半径为$1$，侧面积为$3 \pi$，得圆锥母线$l = 3$，圆锥的高$h = \sqrt{l^{2} - 1^{2}} = 2 \sqrt{2}$。对于$A$，$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} AB · h = 2 \sqrt{2}$，故$A$正确；对于$B$，圆锥$SO$的侧面展开图扇形的弧长为$2 \pi$，圆心角为$\frac{2 \pi}{3}$，故$B$正确；对于$C$，将圆锥$SO$的侧面沿母线$SC$剪开展成平面图形，连接$CC^{\prime}$，如图，所求细绳长度最小值为$CC^{\prime} = 2 l \sin \frac{\pi}{3} = 3 \sqrt{3}$，故$C$正确；对于$D$，当$AC = \sqrt{2}$时，$OC \perp OA$，$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} OA · OC = \frac{1}{2}$，$V_{O - SAC} = V_{S - OAC} = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × 2 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$，故$D$错误。
　　　　　　　　

7. [多选题，2023 浙江嘉兴月考]已知半径为 1 的球内切于半径为 r，高为 h 的一个圆锥(球与圆锥的侧面、底面都相切)，则下列说法正确的是(BC)

A.$\frac{2}{h}+\frac{1}{r^2}=2$
B.圆锥的体积与表面积之比为定值
C.圆锥表面积的最小值是 $8\pi$
D.当圆锥的表面积最小时，圆锥的顶角为 $60^{\circ}$

答案：
7.BC　如图，圆锥的高$SC = h$，底面半径$CB = r$，所以母线$SB = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$，因为$OC = OD = 1$，$SC \perp AB$，$OD \perp SB$，所以$\triangle SDO \sim \triangle SCB$，所以$\frac{SO}{SB} = \frac{OD}{BC}$，即$\frac{h - 1}{SB} = \frac{1}{r}$，所以$SB = rh - r$，即$rh - r = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$，得$h^{2} + 2 r^{2} h = r^{2} h^{2}$，所以$\frac{2}{h} + \frac{1}{r^{2}} = 1$，故$A$错误；圆锥的体积$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$，圆锥的表面积$S = \frac{1}{2} (rh - r) · 2 \pi r + \pi r^{2} = \pi r^{2} h$，圆锥的体积与表面积之比为$\frac{1}{3}$，为定值，故$B$正确；$1 = \frac{2}{h} + \frac{1}{r^{2}} \geqslant 2 \sqrt{\frac{2}{h r^{2}}}$，$r^{2} h \geqslant 8$，当且仅当$\frac{2}{h} = \frac{1}{r^{2}} = \frac{1}{2}$，即$h = 4$，$r = \sqrt{2}$时等号成立，圆锥表面积$S = \pi r^{2} h \geqslant 8 \pi$，则$h = 4$，$r = \sqrt{2}$时圆锥表面积有最小值$8 \pi$，此时$SB = rh - r = 3 \sqrt{2}$，$AB = 2r = 2 \sqrt{2}$，$SB \neq AB$，圆锥的顶角不是$60^{\circ}$，故$D$错误。
　　　　　　　

8. [2024 重庆北碚月考]如图是一个倒置的圆锥形容器，其轴截面为等边三角形，在其内放置两个球形物体，两球体均与圆锥形容器侧面相切，且两球形物体也相切，则小球的体积与大球的体积之比为$\frac{1}{27}$.

答案：
8.$\frac{1}{27}$　根据题意可截取圆锥的轴截面，设大球$O$和小球$O_{1}$与轴截面的切点分别为$C$，$B$，圆锥的顶点为$A$，如图所示，
　　　　　　
易知$\angle OAC = 30^{\circ}$，$\angle OCA = \angle O_{1}BA = 90^{\circ}$，设大球$O$和小球$O_{1}$的半径分别为$R$，$r$，即$OC = R$，$O_{1}B = r$，所以$OA = 2R$，$O_{1}A = 2r$。又因为$OA = O_{1}A + OO_{1} = 2r + R + r = 2R$，所以$R = 3r$，代入球的体积公式可得$\frac{V_{O_{1}}}{V_{O}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{\frac{4}{3} \pi R^{3}} = \left(\frac{r}{R}\right)^{3} = \frac{1}{27}$。

9. [2023 河北唐山期中]如图，扇形 $OAB$ 的半径为 2，圆心角为 $\frac{\pi}{2}$，$N$是弧 $AB$ 上一动点（不包括端点），且 $NM\perp OA$ 于点 $M$，$NQ\perp OB$ 于点 $Q$.设 $\angle MON = \alpha$，将扇形 $OAB$ 绕 $OB$ 所在直线旋转一周，由图中空白部分 $OMNQ$ 旋转形成的几何体的表面积记为 $S$，体积记为 $V$.
(1) 若 $\alpha = \frac{\pi}{3}$，求 $S$.
(2) 当 $\alpha$ 为多大时，$\frac{V}{S}$ 最大？请求出最大值.

答案： 9.解：
(1)因为$OMNQ$旋转形成的几何体为圆柱，圆柱的半径$r = OM = ON \cos \alpha = 2 × \cos \frac{\pi}{3} = 1$，圆柱的高$h = MN = ON \sin \alpha = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，所以$S = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r h = 2 \pi + 2 \sqrt{3} \pi = (2 + 2 \sqrt{3}) \pi$。
(2)因为圆柱的半径为$r = 2 \cos \alpha$，高为$h = 2 \sin \alpha$，其中$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，所以$S = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r h = 8 \pi \cos^{2} \alpha + 2 \pi × 2 \cos \alpha × 2 \sin \alpha = 8 \pi (\cos^{2} \alpha + \sin \alpha \cos \alpha)$，$V = \pi r^{2} h = \pi (2 \cos \alpha)^{2} · 2 \sin \alpha = 8 \pi \cos^{2} \alpha \sin \alpha$，所以$\frac{V}{S} = \frac{8 \pi \cos^{2} \alpha \sin \alpha}{8 \pi (\cos^{2} \alpha + \sin \alpha \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^{2} \alpha + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$，令$t = \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$，则$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{t^{2} - 1}{2}$，故$\frac{V}{S} = \frac{\frac{t^{2} - 1}{2}}{t} = \frac{t}{2} - \frac{1}{2 t}$。因为$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，所以$t \in (1, \sqrt{2}]$。令$h(t) = \frac{t}{2} - \frac{1}{2 t}$，$t \in (1, \sqrt{2}]$，显然$h(t)$在区间$(1, \sqrt{2}]$上单调递增，故$h(t)_{max} = h(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，此时$\alpha = \frac{\pi}{4}$，所以当$\alpha = \frac{\pi}{4}$时，$\frac{V}{S}$最大，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$。