《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

5. [多选题,2024 云南昆明期中]已知棱长为 1 的正方体$ABCD - A'B'C'D'$,P 是面对角线$BC'$上的任意一点,则$AP + PC$的值可能为 (BCD)

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{2+\sqrt{2}}$

答案：
5.BCD 当点P在顶点B处时，AP+PC=AB+BC=2，故B正确；如图1，当点P在线段BC'的中点时，AP=$\sqrt{1^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则AP+PC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，故C正确；如图2，把△BCC'沿BC'展开，使点C与A，B，C'，D'在同一平面，当P为BC'与AC的交点时，AP+PC≥AC，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=135°，所以$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB· BC· \cos\angle ABC=2+\sqrt{2}$，所以AP+PC的最小值为$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，故D正确；由于$\sqrt{2+\sqrt{2}}＞\sqrt{3}$，故A错误。
　　　　 　　　

6. [2025 上海模拟]如图 1 为一个正方体的侧面展开图,在外表面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上,如图 2,则能看见的 13 个正方形面上的数字和的最小值为41.

答案： 6.41 由展开图可知，在正方体中，数字1与数字6相对，数字2与数字4相对，数字3与数字5相对，可得1+2+3+4+5+6=21，1+6=7，2+4=6，3+5=8，13个面实际是最上面一个正方体的5个面和剩下两个正方体两组相对的面上的数字之和，所以最上面一个正方体把数字6向下，剩下两个正方体相对的面为2+4，1+6，此时数字之和最小，即1+2+3+4+5+2×(1+6+2+4)=41。

7. [数学文化,2025 上海浦东新区期末]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为 1,则该半正多面体的棱长为$\sqrt{2}-1$.

答案：
7.$\sqrt{2}-1$ 如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB=BC=x，延长AB与CD交于点M，延长FE交CD于点N，由半正多面体对称性可知，△BMC为等腰直角三角形，所以BM=MC=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，所以MN=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}x+x$=$(\sqrt{2}+1)x=1$，解得$x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，即该半正多面体棱长为$\sqrt{2}-1$。
　　　　　　　　

8. [新定义,2025 云南昆明期中]多面体欧拉公式告诉我们:在简单多面体中,顶点数 + 面数 - 棱数 = 2,而曲率是刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于$2π$与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有 3 个面角,每个面角是$\frac{π}{3}$,所以正四面体在各顶点的曲率为$2π - 3×\frac{π}{3} = π$,故其总曲率为$4π$,正十二面体在每个顶点处有 3 条棱,每个面均为正五边形的多面体,则正十二面体的总曲率为4π.

答案： 8.4π 根据正十二面体每个面都是正五边形，且在每个顶点处有3条棱，结合正五边形的内角等于$\frac{1}{5}×3×180^{\circ}=\frac{3\pi}{5}$，可得正十二面体在各顶点的曲率为$2\pi-3×\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}$。根据正十二面体的棱数E=12×5÷2=30，面数F=12，可得它的顶点数V=E-F+2=30-12+2=20，所以正十二面体的总曲率等于20×$\frac{\pi}{5}$=4π。

9. [开放题]如图所示的是一个三棱台$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$.
(1) 若把这个三棱台截成三个三棱锥,则这三个三棱锥分别是$A_{1}-ABC,A_{1}-BB_{1}C_{1},A_{1}-BCC_{1}$;
(2) 若把这个三棱台截成两个多面体,则这两个多面体可以是两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)(答案不唯一)(答案不唯一).

答案：
9.
(1)$A_{1}-ABC,A_{1}-BB_{1}C_{1},A_{1}-BCC_{1}$
(2)两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)(答案不唯一)
(1)如图1所示，所截成的三个三棱锥分别是$A_{1}-ABC,A_{1}-BB_{1}C_{1},A_{1}-BCC_{1}$。
(2)用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图2所示，也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图3所示。