《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025 天津卷,4]已知 $ m,n $ 为两条直线，$ \alpha,\beta $ 为两个平面，则下列结论正确的是(C)

A.若 $ m// \alpha,n\subset \alpha $，则 $ m// n $
B.若 $ m\perp \alpha,m\perp \beta $，则 $ \alpha\perp \beta $
C.若 $ m// \alpha,m\perp \beta $，则 $ \alpha\perp \beta $
D.若 $ m\subset \alpha,\alpha\perp \beta $，则 $ m\perp \beta $

答案： 1.C　对于A，若m//α，n⊂α，则m与n可能平行也可能异面，故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥β，则α//β，故B错误；对于C，若m//α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；对于D，若m⊂α，α⊥β，则m可能平行于β，也可能与β斜交，也可能垂直于β，故D错误。

2. [多选题,2025 新高考Ⅰ卷,9]在正三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，则(BD)

A.$ AD\perp A_1C $
B.$ B_1C_1\perp $ 平面 $ AA_1D $
C.$ AD// A_1B_1 $
D.$ CC_1// $ 平面 $ AA_1D $

答案：
2.BD　对于A，由题意知AD⊥AA₁，若AD⊥A₁C，则由A₁C∩AA₁ = A₁，A₁C，AA₁⊂平面AA₁C₁C，得AD⊥平面AA₁C₁C，因为AC⊂平面AA₁C₁C，所以AD⊥AC，这与△ABC为正三角形矛盾，故A错误；对于B，因为在正三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，又B₁C₁⊂平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥B₁C₁，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，因为BC//B₁C₁，所以AD⊥B₁C₁，又AA₁∩AD = A，AA₁，AD⊂平面AA₁D，所以B₁C₁⊥平面AA₁D，故B正确；对于C，因为在正三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，A₁B₁//AB，假设AD//A₁B₁，则AD//AB，这与AD∩AB = A矛盾，故C错误；对于D，因为在正三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，CC₁//AA₁，又AA₁⊂平面AA₁D，CC₁⊄平面AA₁D，所以CC₁//平面AA₁D，故D正确。

3. [2025 上海卷,7]如图，在正四棱柱 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ BD = 4\sqrt{2} $，$ DB_1 = 9 $，则该正四棱柱的体积为112.

答案： 3.112　由题知，底面ABCD为正方形，所以2AB² = BD² = 32，所以AB = 4，因为四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，所以BB₁⊥底面ABCD，因为BD⊂底面ABCD，所以BB₁⊥BD，所以BB₁ = √(81 - 32) = 7，所以该正四棱柱的体积为4×4×7 = 112。

4. [2025 新高考卷Ⅱ,14]一个底面半径为 $ 4 cm $，高为 $ 9 cm $ 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为5/2 $ cm $.

答案：
4.5/2　根据圆柱的底面半径为4cm，设铁球的半径为r，0＜r＜4，由圆柱与球的性质知AB² = (2r)² = (8 - 2r)² + (9 - 2r)²，即4r² - 68r + 145 = (2r - 5)(2r - 29) = 0，因为0＜r＜4，所以r = 2.5。

5. [2025 北京卷,14]某科技兴趣小组使用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 $ ABCDEF $ 是一个平面多边形，平面 $ ARF\perp $ 平面 $ ABC $，平面 $ TCD\perp $ 平面 $ ABC $，$ AB\perp BC $，$ AB// RS// EF// CD $，$ AF// ST// BC// ED $.若 $ AB = BC = 8 $，$ AF = CD = 4 $，$ AR = RF = TC = TD = \frac{5}{2} $，则该多面体的体积为60.

答案：
5.60　因为AB//EF//CD，AF//BC//ED，且AB⊥BC，所以BC⊥CD，CD⊥DE，DE⊥EF，EF⊥AF，AF⊥AB。如图，延长CB与EF相交于点N，延长AB与ED相交于点M，所以AM⊥ED，CN⊥EF，所以四边形ABNF和四边形CDMB为矩形，所以AF = CD = BM = BN，所以四边形BNEM为正方形，所以BM = ME = EN = BN = AF = CD = 4，即EF = DE = 12，由此可得组合体关于平面SBE对称。过点B作BQ//AR，交RS于点Q，连接QN，过点B作BP//CT，交TS于点P，连接PM，所以平面ARF//平面BQN，平面CDT//平面BMP，所以组合体体积V = VAFR - BNQ + VCDT - BMP + VS - BMEN + VCDT - BMP + VS - BNQ。
①求解三棱柱AFR - BNQ和CDT - BMP的体积：因为平面ARF⊥平面ABC，平面ARF∩平面ABC = AF，AB⊥AF，AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面ARF，所以三棱柱AFR - BNQ为直三棱柱（三棱柱CDT - BMP同理），所以VAFR - BNQ = VCDT - BMP = S△ARF·AB = 1/2×4×√(5² - 2²)×8 = 24；
②求解四棱锥S - BMEN的体积：取AF的中点O，连接RO，因为RF = AR，所以RO⊥AF，易知RO⊥平面ABC，又RS//平面ABC，所以RO即点S到平面ABC的距离，RO = √(5² - 2²) - 3/2 = 3/2，所以VS - BMEN = 1/3×4×4×3/2 = 8；
③求解三棱锥S - BMP和三棱锥S - BNQ的体积：因为AB⊥平面ARF，AB//RS，平面ARF//平面BQN，所以平面BQN⊥RS，所以QS即为三棱锥S - BNQ的高，QS = 1/2NE = 2，所以VS - BMP = VS - BNQ = 1/3×1/2×4×√(5² - 2²)×2 = 2。
综上，组合体的体积为24 + 24 + 8 + 2 + 2 = 60。

6. [2025 上海卷,18]如图，$ P $ 是圆锥的顶点，$ O $ 是底面圆心，$ AB $ 是底面直径，且 $ AB = 2 $.
（1）若直线 $ PA $ 与圆锥底面所成的角为 $ \frac{\pi}{3} $，求圆锥的侧面积；
（2）已知 $ Q $ 是母线 $ PA $ 的中点，点 $ C,D $ 在底面圆周上，且弧 $ \overset{\x0crown}{AC} $ 的长为 $ \frac{\pi}{3} $，$ CD// AB $，设点 $ M $ 在线段 $ OC $ 上，求证：直线 $ QM// $ 平面 $ PBD $.

答案：
6.
(1)解：如图，连接PO，依题意及圆锥的性质得∠PAO = π/3，AO = 1/2AB = 1，∠POA = π/2，所以PA = AO/cos∠PAO = 1/cos(π/3) = 2，所以圆锥的侧面积S侧 = π·AO·PA = π×1×2 = 2π。

(2)证明：连接QO，QC，OC，BD，OD。因为Q是母线PA的中点，AB是底面圆O的直径，所以QO//PB。又PB⊂平面PBD，QO⊄平面PBD，所以QO//平面PBD。因为弧AC的长度为∠AOC·OA = π/3，所以∠AOC = π/3。因为CD//AB，所以∠OCD = ∠AOC = π/3，则△OCD为等边三角形，∠COD = π/3，所以∠BOD = π/3，所以△OBD为等边三角形，∠OBD = π/3，所以OC//BD。又BD⊂平面PBD，OC⊄平面PBD，所以OC//平面PBD，而OC∩QO = O，OC，QO⊂平面QCO，所以平面QCO//平面PBD。又QM⊂平面QCO，所以QM//平面PBD。

7. [2024 新高考Ⅰ卷,5]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $ \sqrt{3} $，则圆锥的体积为(B)

A.$ 2\sqrt{3}\pi $
B.$ 3\sqrt{3}\pi $
C.$ 6\sqrt{3}\pi $
D.$ 9\sqrt{3}\pi $

答案： 7.B　设圆锥的底面半径为r，母线长为l。由侧面积相等可得πrl = 2πr·√3，解得l = 2√3，则r = √[(2√3)² - (√3)²] = 3，所以圆锥的体积为1/3πr²·√3 = 3√3π。

8. [2024 全国甲卷理,14]已知圆台甲、乙的上底面半径均为 $ r_1 $，下底面半径均为 $ r_2 $，圆台的母线长分别为 $ 2(r_2 - r_1) $，$ 3(r_2 - r_1) $，则圆台甲与乙的体积之比为√6/4.

答案： 由题可得两个圆台的高分别为h甲 = √[3(r₂ - r₁)]² - (r₂ - r₁)² = √3(r₂ - r₁)，h乙 = √[2√2(r₂ - r₁)]² - (r₂ - r₁)² = 2√2(r₂ - r₁)，所以V甲/V乙 = [(S₁ + S₂ + √(S₁S₂))h甲]/[(S₁ + S₂ + √(S₁S₂))h乙] = h甲/h乙 = [√3(r₂ - r₁)]/[2√2(r₂ - r₁)] = √6/4。
解后反思：本题要熟记圆台的体积公式，根据公式特点将体积之比实现转化。