《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

4. [2025 浙江杭州二中期末]如图 1，在平面五边形 $ABCDE$ 中，$\angle EAC = \angle DCA = \frac{\pi}{2}$，$AE = 4$，$CD = 2$，$AB = BC = AC = 2\sqrt{3}$，$F$，$H$ 分别为 $ED$，$AD$ 的中点，将 $\triangle ABC$ 沿 $AC$ 翻折，使点 $B$ 到点 $P$ 的位置，如图 2 所示.
（1）若 $PH\perp$ 平面 $ACDE$.
①求异面直线 $PA$ 与 $CF$ 所成角的大小；
②三棱锥 $P - ACD$ 的各顶点都在球 $O$ 上，$M$ 为球 $O$ 球面上的动点，求 $EM$ 长的取值范围.
（2）在翻折的过程中，设平面 $PCD$ 与平面 $PAE$ 的交线为 $l$，求二面角 $A - l - C$ 的最小值.

答案：
4.解:
(1)①如图1，设CF与AD交于点G，由题意，得AE//CD，AD = $\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}$ = 4，则sin∠CDA = sin∠DAE = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以∠CDA = ∠DAE = $\frac{\pi}{3}$，又AD = AE，所以△ADE为正三角形，所以∠EDA = ∠CDA = $\frac{\pi}{3}$，又DF = $\frac{1}{2}$DE = CD，DG = DG，故△DFG≌△DCG，所以FG = CG，故CF⊥AD.因为PH⊥平面ACDE，CF⊂平面ACDE，所以CF⊥PH.因为PH∩AD = H，PH，AD⊂平面PAD，所以CF⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD，所以CF⊥PA，即异面直线PA与CF所成角的大小为90°.
　　　　　　　
②由①知AH = $\frac{1}{2}$AD = 2，由题意，得PH = $\sqrt{PA^{2}-AH^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$，△ACD为直角三角形，且PH⊥平面ACDE，所以三棱锥P - ACD的外接球球心O在直线PH上，设球O的半径为R，则OH = |2$\sqrt{2}$ - R|，如图2，连接AO，
　　　　　　　
在Rt△AOH中，由勾股定理，得OH² + AH² = OA²，即(2$\sqrt{2}$ - R)² + 2² = R²，得R = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.连接EO，HE，因为OH = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，HE = 2$\sqrt{3}$，所以EO = $\sqrt{OH^{2}+EH^{2}}$ = $\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$，所以EM长的最小值为EO - R = $\sqrt{2}$，EM长的最大值为EO + R = 4$\sqrt{2}$，故EM长的取值范围是[$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$].
(2)如图3，过点P作平行于AE的直线，则该直线为平面PCD与平面PAE的交线l.
　　　　　　　
设点P在平面ACDE内的射影为点K，过点K作平行于AC的直线分别交CD，AE于点M，N，连接PM，PN，则∠MPN为二面角A - l - C的平面角.
因为PA = PC，所以KA = KC，K为MN的中点，所以PM = PN，连接PK，则∠MPK = ∠NPK，tan∠MPK = $\frac{MK}{PK}$ = $\frac{\sqrt{3}}{PK}$.
若∠MPN最小，则∠MPK最小，即tan∠MPK的值最小，所以当PK的长最大时，二面角A - l - C取得最小值.易知当K为AC的中点时，PK的长取得最大值，且最大值为3，因此tan∠MPK的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠MPK的最小值为$\frac{\pi}{6}$，所以二面角A - l - C的最小值为$\frac{\pi}{3}$.