《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024 江苏海门中学月考]如图,已知在底面为平行四边形的四棱锥 $ P - ABCD $ 中,平面 $ MNGH $ 与直线 $ PB $ 和直线 $ AC $ 平行,$ E $ 为 $ PD $ 的中点,点 $ F $ 在 $ CD $ 上,且 $ DF:FC = 1:2 $.
(1) 求证:四边形 $ MNGH $ 是平行四边形;
(2) 求过 $ EF $ 作四棱锥 $ P - ABCD $ 的截面,使 $ PB $ 与截面平行(写出作图过程,不要求证明).

答案：

(1)证明:因为PB//平面MNGH，PB⊂平面PAB，平面MNGH∩平面PAB=MH，所以MH//PB。因为PB//平面MNGH，PB⊂平面PBC，平面MNGH∩平面PBC=NG，所以NG//PB，所以MH//NG。因为AC//平面MNGH，AC⊂平面ABCD，平面MNGH∩平面ABCD=MN，所以MN//AC。因为AC//平面MNGH，AC⊂平面PAC，平面MNGH∩平面PAC=HG，所以HG//AC，所以MN//HG，所以四边形MNGH是平行四边形。
(2)解:如图，连接BD交AC于点O，延长FO与AB交于点R，过点P作直线PS//AB，则直线PS为平面PAB和平面PCD的交线，延长FE交PS于点S，连接SR交PA于点Q，连接QE。因为E为PD的中点，O为BD的中点，所以PB//EO。又因为PB⊄平面EFRQ，EO⊂平面EFRQ，所以PB//平面EFRQ。故平面EFRQ即为所求截面。
　　　　　

2. [2025 北京昌平期末]如图,在三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中,$ AB = AC $,$ CC_1 \perp AC $,平面 $ ACC_1A_1 \perp $ 平面 $ ABC $,$ D $,$ E $,$ F $ 分别为 $ BC $,$ AB $,$ A_1C_1 $ 的中点. 求证:
(1) $ AD \perp DC_1 $;
(2) $ EF // $ 平面 $ ADC_1 $.

答案：
证明:
(1)在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，CC₁⊥AC，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，CC₁⊂平面ACC₁A₁，所以CC₁⊥平面ABC。又AD⊂平面ABC，所以CC₁⊥AD。因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，而BC∩DC₁=D，BC，DC₁⊂平面BCC₁B₁，所以AD⊥平面BCC₁B₁，而DC₁⊂平面BCC₁B₁，所以AD⊥DC₁。
(2)连接ED，因为D，E，F分别为BC，AB，A₁C₁的中点，可得DE//AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，C₁F//AC且C₁F=$\frac{1}{2}$AC，所以DE = C₁F，且DE//C₁F，即四边形DEFC₁为平行四边形，所以EF//DC₁。又因为EF⊄平面ADC₁，DC₁⊂平面ADC₁，所以EF//平面ADC₁。