《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2023 广东广州月考]已知 A,B,C,D 是不共面的四点,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心.以下平面中与直线 MN 平行的是(B)
①平面 ABC； ②平面 ABD； ③平面 ACD； ④平面 BCD.

A.①③
B.①②
C.①②③
D.①②③④

答案：
1.B　如图，取CD的中点为E，连接AE，BE.由已知以及重心定理可得，$\frac{AM}{ME}=\frac{2}{1}$，$\frac{BN}{NE}=\frac{2}{1}$，则$\frac{EM}{EA}=\frac{1}{3}$，$\frac{EN}{EB}=\frac{1}{3}$.所以$\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{EB}=\frac{1}{3}$，所以MN//AB.因为MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以MN//平面ABC，故①正确；因为MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN//平面ABD，故②正确；因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，故③错误；因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，故④错误.

2. [2024 北京海淀期末]设 α,β,γ 是三个不同平面,且 α∩γ = l,β∩γ = m,则“l // m”是“α // β”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.B　若α//β，则由平面平行的性质定理得l//m；但当l//m时，可能有α//β，也可能有α，β相交，如l，m是三棱柱的两条侧棱所在直线，γ是l，m确定的平面，另两个侧面所在平面分别为α，β，此时α，β相交，所以“l//m”是“α//β”的必要不充分条件.

3. [2025 江苏南京期中]如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中,设 M,N 分别是线段 DA₁,B₁D₁ 上的动点,若 MN // 平面 CC₁D₁D,则线段 MN 长的最小值为(B)

A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.2
D.$\frac{1}{2}$

答案：
3.B　由题意，在棱长为1的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段DA₁，B₁D₁上的动点，又MN//平面CC₁D₁D，过点M，N分别作MG//A₁D₁交DD₁于点G，NP//A₁D₁交C₁D₁于点P，连接PG，要想MN//平面CC₁D₁D，则四边形MGPN为平行四边形，故NP = MG，设D₁G = m∈(0,1)，则PC₁ = m，故PD₁ = 1 - m，由勾股定理得MN = PG = $\sqrt{D_{1}G^{2}+D_{1}P^{2}} = \sqrt{m^{2}+(1 - m)^{2}}$，其中$m^{2}+(1 - m)^{2}=2m^{2}-2m + 1 = 2(m - \frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\geqslant\frac{1}{2}$，当且仅当$m = \frac{1}{2}$时，等号成立，故$MN\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. [多选题,2024 福建福州期中]已知三棱台 ABC - A'B'C',上、下底面边长之比为 1:2,棱 AB,BC,AC 的中点分别为 M,P,N,则下列结论错误的有(AC)

A.A'N // PC'
B.A'P 与 AC 为异面直线
C.AB // 平面 A'C'P
D.平面 A'MN // 平面 BCC'B'

答案：
4.AC　对于A，因为A′N⊂平面A′C′CA，C′∉平面A′C′CA，P∉平面A′C′CA，且C′∉A′N，所以A′N，PC′是异面直线，故A错误；对于B，因为AC⊂平面A′C′CA，A′∈平面A′C′CA，P∉平面A′C′CA，且A′∉AC，所以A′P与AC为异面直线，故B正确；对于C，如图，连接MP，因为棱AB，BC的中点分别为M，P，所以AC//MP，因为AC//A′C′，所以MP//A′C′，可得AB∩平面A′C′PM = M，故C错误；对于D，因为AB，AC的中点分别为M，N，所以MN//BC，因为MN⊄平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，所以MN//平面BCC′B′，因为AC//A′C′，A′C′ = $\frac{1}{2}$AC = NC，所以四边形A′C′CN为平行四边形，所以A′N//C′C，因为A′N⊄平面BCC′B′，C′C⊂平面BCC′B′，所以A′N//平面BCC′B′，因为MN∩A′N = N，MN，A′N⊂平面A′MN，所以平面A′MN//平面BCC′B′，故D正确.

5. [2025 安徽师大附中期中]如图,在三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中,E 是棱 CC₁ 上的一点,且 $\frac{C_1E}{EC} = \frac{2}{3}$,D 是棱 BC 上一点.若 A₁B // 平面 ADE,则 $\frac{BD}{BC}$ 的值为$\frac{5}{8}$.

答案：
5.$\frac{5}{8}$　如图，连接A₁C，交AE于点F，连接FD，则平面A₁CB∩平面AED = FD.因为A₁B//平面ADE，且A₁B⊂平面A₁CB，所以A₁B//FD，所以在△CA₁B中，$\frac{CF}{CA_{1}}=\frac{CD}{CB}$，因为$\frac{CE}{EC}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{CE}{CC_{1}}=\frac{3}{5}$，由三棱柱的性质，得CC₁//AA₁，所以$\frac{CE}{AA_{1}}=\frac{CF}{A_{1}F}$，即$\frac{CF}{A_{1}F}=\frac{CE}{CC_{1}}=\frac{3}{5}$，所以$\frac{CF}{CA_{1}}=\frac{3}{8}$，即$\frac{CD}{CB}=\frac{3}{8}$，所以$\frac{BD}{BC}=\frac{5}{8}$.

6. [2025 上海嘉定一中期中]如图,E 是棱长为 2 的正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 的棱 C₁D₁ 上一点,且 BD₁ // 平面 B₁CE,则线段 CE 的长度是$\sqrt{5}$.

答案：
6.$\sqrt{5}$　连接BC₁与B₁C相交于点N，连接EN，则点N是BC₁的中点.因为BD₁//平面B₁CE，且平面B₁CE∩平面BCD₁ = EN，所以BD₁//EN，可得E是C₁D₁的中点.又因为正方体的棱长为2，所以CE = $\sqrt{CC_{1}^{2}+EC^{2}} = \sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$.