《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025 浙江七彩阳光联盟期中]复数 $ z_1 = 12 + 3i $，$ z_2 = -i $，其中 $ i $ 是虚数单位，则复数 $ z = z_1 · z_2 $ 在复平面内所对应的点在 (D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1. D 因为$z = z_1 · z_2 = (12 + 3i)(-i) = 3 - 12i$，所以对应的点的坐标为$(3, -12)$，在第四象限.

2. [2021 河北石家庄期末]已知复数 $ z_1 = \cos\theta + i\sin\theta (\theta \in \mathbf{R}) $，$ z_2 = \sqrt{3} + i $，且 $ z_1z_2 $ 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则 $ \tan\theta = $ (A)

A.$ 2 - \sqrt{3} $
B.$ -2 + \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ -\sqrt{3} $

答案： 2. A $z_1z_2 = (\cos\theta + i\sin\theta)(\sqrt{3} + i) = (\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta) + (\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta)i = 2\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) + 2i\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$. 因为$z_1z_2$在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，所以$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \cos(\theta + \frac{\pi}{6})$，所以$\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$，所以$\tan\theta = \tan((\theta + \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3}$.

3. [2023 上海闵行期末]非零复数 $ z_1 $，$ z_2 $ 在复平面内分别对应向量 $ \overrightarrow{OZ_1} $，$ \overrightarrow{OZ_2} $($ O $ 为坐标原点)，若 $ z_1^2 + z_2^2 = 0 $，则 (B)

A.$ O $，$ Z_1 $，$ Z_2 $ 三点共线
B.$ \triangle OZ_1Z_2 $ 是直角三角形
C.$ \triangle OZ_1Z_2 $ 是等边三角形
D.以上都不对

答案： 3. B 设$z_1 = a + bi(ab \neq 0)$，$z_2 = c + di(cd \neq 0)$，则$Z_1(a, b)$，$Z_2(c, d)$，故$\overrightarrow{OZ_1} = (a, b)$，$\overrightarrow{OZ_2} = (c, d)$. 因为$z_1^2 + z_2^2 = 0$，所以$z_1^2 = -z_2^2 = (z_2 · i)^2$，所以$z_1 = \pm z_2 · i = \pm (-d + ci)$，所以$\begin{cases}d = -a,\\c = b,\end{cases}$或$\begin{cases}d = a,\\c = -b,\end{cases}$故$\overrightarrow{OZ_2} = (b, -a)$或$\overrightarrow{OZ_2} = (-b, a)$. 当$\overrightarrow{OZ_2} = (b, -a)$时，$\overrightarrow{OZ_1} · \overrightarrow{OZ_2} = 0$，当$\overrightarrow{OZ_2} = (-b, a)$时，$\overrightarrow{OZ_1} · \overrightarrow{OZ_2} = 0$，所以$OZ_1 \perp OZ_2$，所以$\triangle OZ_1Z_2$是直角三角形，故$O$，$Z_1$，$Z_2$三点不共线且$\triangle OZ_1Z_2$不是等边三角形.

4. [2025 浙江 G5 联盟期中]已知复数 $ z = 1 + \sqrt{3}i $，$ i $ 为虚数单位，则对于 $ t \in \mathbf{R} $，$ |z + t · \overline{z}| $ 的最小值为 (D)

A.2
B.1
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ \sqrt{3} $

答案： 4. D 因为$z + t · \overline{z} = 1 + \sqrt{3}i + t(1 - \sqrt{3}i) = 1 + t + (\sqrt{3} - \sqrt{3}t)i$，所以$|z + t · \overline{z}| = \sqrt{(1 + t)^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3}t)^2} = \sqrt{4t^2 - 4t + 4} = 2\sqrt{(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$，所以当$t = \frac{1}{2}$时，$|z + t · \overline{z}|$有最小值，最小值为$2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$.

5. [多选题，2024 山东菏泽中学期末]下列说法正确的有 (BCD)

A.若 $ 2i - 3 $ 是方程 $ 2x^2 + px + q = 0 (p, q \in \mathbf{R}) $ 的一个根，则 $ p = -12 $，$ q = 26 $
B.复数 $ 6 + 5i $ 与 $ -3 + 4i $ 分别表示向量 $ \overrightarrow{OA} $ 与 $ \overrightarrow{OB} $，则向量 $ \overrightarrow{BA} $ 表示的复数为 $ 9 + i $
C.若复数 $ z $ 满足 $ |z + 1 - 2i| = 1 $，则 $ |z| $ 的最大值为 $ 1 + \sqrt{5} $
D.若复数 $ z_1 $，$ z_2 $ 满足 $ \frac{z_1}{z_2} = 1 - i $，$ z_1z_2 = 2 + i $，则 $ |z_1^2| + |z_2^2| = \frac{3\sqrt{10}}{2} $

答案： 5. BCD 对于A，若$2i - 3$是方程$2x^2 + px + q = 0(p, q \in R)$的一个根，则方程的两个根分别$x_1 = -3 + 2i$，$x_2 = -3 - 2i$，所以$-\frac{p}{2} = x_1 + x_2 = -6$，$\frac{q}{2} = x_1x_2 = 13$，所以$p = 12$，$q = 26$，故A错误；对于B，由题意可知$\overrightarrow{OA} = (6, 5)$，$\overrightarrow{OB} = (-3, 4)$，所以$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (6, 5) - (-3, 4) = (9, 1)$，所以向量$\overrightarrow{BA}$表示的复数为$9 + i$，故B正确；对于C，设$z = x + yi$，$x, y \in R$，若复数$z$满足$|z + 1 - 2i| = 1$，则在复平面内，点$Z(x, y)$在圆$C: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$上，圆C的圆心$C(-1, 2)$，半径$r = 1$，则$|z|$的几何意义为原点$O(0, 0)$到圆C上点的距离，又$|OC| = \sqrt{5}$，所以$|z|$的最大值为$1 + \sqrt{5}$，故C正确；对于D，$z_1^2 = \frac{z_1}{z_2} · (z_1z_2) = (1 - i)(2 + i) = 3 - i$，$z_2^2 = \frac{z_1z_2}{z_1} = \frac{2 + i}{1 - i} = \frac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$，所以$|z_1^2| + |z_2^2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} + \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$，故D正确.