《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024浙江绍兴期中]在△ABC中,O为BC的中点,若$\overrightarrow{MO}$·$\overrightarrow{BC}$=0,则动点M的轨迹必通过△ABC的(B)

A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心

答案： 1.B 因为$\overrightarrow{MO} · \overrightarrow{BC}=0$，所以$MO\bot BC$.又因为$O$是$BC$的中点，所以直线$MO$是$BC$的中垂线，故动点$M$的轨迹必通过$\triangle ABC$的外心.

2. [2023重庆西南大学附中期末]已知M为△ABC所在平面内一点,且2$\overrightarrow{BM}$·$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{BA}$²-$\overrightarrow{BC}$²,则动点M的轨迹必通过△ABC的(C)

A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心

答案： 2.C 设边$AC$的中点为$D$，因为$2\overrightarrow{BM} · \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}^2 - \overrightarrow{BC}^2$，所以$2\overrightarrow{BM} · \overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) · (\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC})$，所以$2\overrightarrow{BM} · \overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{BD} · \overrightarrow{CA}$，所以$(\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BD}) · \overrightarrow{CA}=0$，所以$\overrightarrow{DM} · \overrightarrow{CA}=0$，所以$DM\bot CA$，又$D$为边$AC$的中点，所以点$M$在边$AC$的垂直平分线上，所以动点$M$的轨迹必通过$\triangle ABC$的外心.

3. [2025山东临沂期中]已知在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,O为△ABC的内心,则$\overrightarrow{CO}$=(B)

A.$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
B.$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$-$\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
C.$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
D.$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

答案：
3.B 根据题意，设$\triangle ABC$内切圆的半径为$r$，在$\triangle ABC$中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，易得$BC^2 = AB^2 + AC^2$，则$\triangle ABC$为直角三角形.如图，过点$O$作$OF \bot AC$，与$AC$交于点$F$，过点$O$作$OE$垂直于$AB$，交$AB$于点$E$，则$E$，$F$分别为$\triangle ABC$的内切圆与边$AB$，$AC$的切点，由$AB\bot AC$，得$OF // AB$，$OE // AC$，则$OE = OF = r$，则$\frac{1}{2}(AB + AC + BC)r = \frac{1}{2} × AC × AB$，即$6r = 6$，解得$r = 1$，则$CF = 3$，故$\overrightarrow{CF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{FO} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FO} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

4. [2025湖南邵阳一中期末]已知O,N,P在△ABC所在平面内,且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|,$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\boldsymbol{0}$,且$\overrightarrow{PA}$·$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$·$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$·$\overrightarrow{PA}$,则点O,N,P依次是△ABC的(C)

A.重心、外心、垂心
B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心
D.外心、重心、内心

答案： 4.C 因为$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$，所以点$O$到定点$A$，$B$，$C$的距离相等，所以$O$为$\triangle ABC$的外心.由$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = 0$，得$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = -\overrightarrow{NC}$，取$AB$的中点$E$，则$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 2\overrightarrow{NE} = -\overrightarrow{CN}$，所以$2|\overrightarrow{NE}| = |\overrightarrow{CN}|$，所以$N$是$\triangle ABC$的重心.由$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} · \overrightarrow{PA}$，得$(\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PC}) · \overrightarrow{PB} = 0$，即$\overrightarrow{CA} · \overrightarrow{PB} = 0$，所以$AC\bot PB$，同理可得$AB\bot PC$，所以$P$是$\triangle ABC$的垂心.

5. [多选题,2024江苏苏州月考]已知△ABC满足AB=3,AC=4,则下列结论正确的是(ABD)

A.若O为△ABC的重心,则$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
B.若O为△ABC的外心,则$\overrightarrow{AO}$·$\overrightarrow{BC}$=$\frac{7}{2}$
C.若O为△ABC的垂心,则$\overrightarrow{AO}$=$\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
D.若O为△ABC的内心,则$\overrightarrow{AO}$=λ($\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$)

答案：
5.ABD 对于A，如图，当$O$为$\triangle ABC$的重心时，$\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3} × \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，故A正确；

对于B，若点$O$为$\triangle ABC$的外心，如图，取$AC$的中点$D$，连接$OD$，则$OD$为线段$AC$的垂直平分线，则$\overrightarrow{AO} · \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DO}) · \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}^2 = 8$，同理$\overrightarrow{AO} · \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2 = \frac{9}{2}$，$\overrightarrow{AO} · \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} · (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AO} · \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AO} · \overrightarrow{AB} = \frac{7}{2}$，故B正确；

对于C，当$B = \frac{\pi}{2}$时，则$B$为$\triangle ABC$的垂心，$B$，$O$重合，此时$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB}$，故C错误；
对于D，若$O$为$\triangle ABC$的内心，$O$在$\angle BAC$的平分线上，则$\overrightarrow{AO} = \lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}) = \lambda(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC})$，故D正确.

6. [多选题,2025福建漳州期中]已知△ABC的重心为G,外心为O,内心为I,垂心为H,则下列说法正确的是(ABD)

A.若M是BC的中点,则AG:GM=2:1
B.若|$\overrightarrow{AB}$|=1,则$\overrightarrow{AB}$·$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$
C.$\overrightarrow{AH}$与$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$不共线
D.若2$\overrightarrow{HA}$+3$\overrightarrow{HB}$+4$\overrightarrow{HC}$=$\boldsymbol{0}$,则cos∠BHC=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$

答案：
6.ABD 对于A，因为$M$是$BC$的中点，所以$AM$是$BC$边上的中线，又$G$是$\triangle ABC$的重心，所以$AG:GM = 2:1$，故A正确；对于B，因为$O$为$\triangle ABC$的外心，如图1，设$AB$的中点为$N$，连接$ON$，所以$ON\bot AB$，所以$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} · (\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NO}) = \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{NO} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 = \frac{1}{2}$，故 B 正确；对于C，因为$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C}) · \overrightarrow{BC} = \frac{\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B} + \frac{\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C} = \frac{|\overrightarrow{AB}| · |\overrightarrow{BC}|\cos(\pi - B)}{|\overrightarrow{AB}|\cos B} + \frac{|\overrightarrow{AC}| · |\overrightarrow{BC}|\cos C}{|\overrightarrow{AC}|\cos C} = -|\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{BC}| = 0$，所以$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C}$与$\overrightarrow{BC}$垂直，又因为$AH\bot BC$，所以$AH$与$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C}$共线，故C错误；对于D，如图2，因为$H$为$\triangle ABC$的垂心，所以$AH\bot BC$，即$\overrightarrow{AH} · \overrightarrow{BC} = 0$，即$\overrightarrow{AH} · (\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HB}) = 0$，则$\overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HB}$，同理由$HC\bot AB$，得$\overrightarrow{HC} · (\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA}) = 0$，可得$\overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HC} · \overrightarrow{HB}$，所以$\overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HC} · \overrightarrow{HB}$，设$\overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HC} · \overrightarrow{HB} = x$，由题意，有$3\overrightarrow{HB} = -2\overrightarrow{HA} - 4\overrightarrow{HC}$，即$3\overrightarrow{HB}^2 = -2\overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HB} - 4\overrightarrow{HC} · \overrightarrow{HB} = -6x$，则$|\overrightarrow{HB}| = \sqrt{-2x}$，$4\overrightarrow{HC} = -2\overrightarrow{HA} - 3\overrightarrow{HB}$，即$4\overrightarrow{HC}^2 = -2\overrightarrow{HA} · \overrightarrow{HC} - 3\overrightarrow{HB} · \overrightarrow{HC} = -5x$，则$|\overrightarrow{HC}| = \sqrt{-\frac{5}{4}x}$，因为$x ＜ 0$，所以$\cos\angle BHC = \cos\langle\overrightarrow{HB}, \overrightarrow{HC}\rangle = \frac{\overrightarrow{HB} · \overrightarrow{HC}}{|\overrightarrow{HB}||\overrightarrow{HC}|} = \frac{x}{\sqrt{-2x} · \sqrt{-\frac{5}{4}x}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$，故D正确.